Kényszerfeltétel

A kényszerfeltétel egy fizikai rendszerre (tömegpontra, pontrendszerre, merev testekből álló rendszerre) ható szabaderők hatását (így a rendszer mozgását) korlátozó, általában geometriai jellegű mellékfeltételek elnevezése. A kényszerfeltételek által ezek a rendszerek szabad mozgás helyett kényszermozgást végeznek.

Kényszert jelenthet az, hogy a rendszer csupán egy felület vagy egy görbe mentén végezheti mozgását (pl. a lejtőn való mozgás vagy az ingamozgás; ekkor a kényszerfeltételeket a felület vagy a görbe egyenletei jelentik). Ezek a feltételek olyan más testek hatásaként jönnek létre, amelyek mechanikai szempontból erőt, ún. kényszererőt jelentenek. A gyakorlatban a mozgások rendszerint kényszermozgások, hiszen egy szerkezet szinte bármely elemének olyan mozgást kell végeznie, amelyet más szerkezeti elemmel mint kényszerrel biztosítunk. A kényszermozgást előíró erők lehetnek nyugalomban, de mozoghatnak is (álló és mozgó kényszerek), ennek megfelelően a kényszerek általános esetben a hely, az idő és a viszonyított sebesség függvényei.

A kényszerfeltételek csoportosítása

• Ha a kényszerfeltételek matematikailag csak maguk a koordináták és esetleg az idő között fennálló (de azok differenciáljait nem tartalmazó) egyenletek, a kényszer holonom (a kényszer integrálható). Holonom kényszer áll fenn pl. a fonalinga esetében, amelynek hossza l és a koordináta-rendszer origójában van felfüggesztve (a fonalinga golyója csak egy l sugarú gömb felszínén, vagy annak belsejében mozoghat):

$l^2-(x^2+y^2+z^2)\ge 0$.

• A nem integrálható kényszerek esetében a mozgást egyértelműen jellemző koordináták és az idő között függvényszerűen nem írható fel kapcsolat, de megváltozásaikra felírhatók egyenletek (pl. egy kerék gördülésénél). Az ilyen kényszert nemholonomnak vagy anholonomnak nevezzük. Pl. egy R sugarú kerék akkor gördül csúszás nélkül egy sík felületen, ha a síkon mért elmozdulás és a kerék kerületén mért ívhossz egyenlő:

$4s=R\cdot 4\varphi$   vagy   $\frac{4s}{4t}=R\cdot \frac{4\varphi }{4t}$,   azaz   $v=R\cdot \omega$

Mozgó lejtő

• Ha a kényszer explicite függ az időtől, akkor a kényszer reonom (rheonom). Reonom kényszer hat az x tengely mentén állandó v sebességgel mozgó $\alpha$ szögű lejtőn csúszó m tömegpontra (lásd az ábrát):

$y=x\cdot \tan \alpha$   és   $y^{\prime }=x^{\prime }\cdot \tan \alpha$

$x^{\prime }=x-v\cdot t$   és   $y^{\prime }=y$

Behelyettesítés után:

$y-(x\cdot \tan \alpha -v\cdot t)=0$

Idő szerinti deriváltja:

$\dot{y}-(\dot{x}\cdot \tan \alpha -v)=0$

Ezek a kényszerfeltételek időfüggők.

• Ha a kényszer explicite nem függ az időtől, akkor szkleronom. A holonom és anholonom kényszerekre bemutatott esetek egyben szkleronomok is.

A kényszereket általában egy $f(𝐫,\dot{𝐫},t)=0$ alakú matematikai függvénnyel adjuk meg - így a kényszerek csoportosítása táblázatban:

-	reonom	szkleronom
holonom	$f(𝐫,t)=0$	$f(𝐫)=0$
anholonom	$f(𝐫,\dot{𝐫},t)=0$	$f(𝐫,\dot{𝐫})=0$

Minden holonom kényszer a rendszer szabadsági fokainak a számát eggyel csökkenti. Megszabott felület esetén a mozgás szabadságfoka kettő, megszabott pályagörbe esetén egy.

Források

• Sablon:TermTudLex
• Nyugat-magyarországi Egyetem Kinetika (jegyzet)