Imaginárius egység

Az i imaginárius egység és hatványai (i, -1, -i, 1) a komplex számsíkon. A valós számok a vízszintes, a tisztán képzetes számok a függőleges tengelyen találhatók

A matematikában az imaginárius egység (vagy képzetes egység) egy olyan komplex szám, melynek négyzete −1. Leggyakrabban i, j vagy az ι (ióta) betűvel jelölik. Az imaginárius egység bevezetésével a valós számok halmaza ($ℝ$) kiterjeszthető a komplex számok halmazára ($ℂ$). A pontos meghatározás a kiterjesztés módjától függ.

Meghatározás

A képzetes egység az alábbi másodfokú egyenlet egyik megoldásaként definiálható:

x² + 1 = 0, vagy másképpen x² = −1.

Ez az egyenlet a valós számok halmazán nem oldható meg, mert nincs olyan valós szám, aminek a négyzete negatív lenne. Alkothatunk azonban egy új, a valós számokon kívül álló számot, melynek meghatározó tulajdonsága, hogy kielégíti a fenti egyenletet. Az, hogy ez a mesterségesen megalkotott szám létezik-e vagy sem, nem matematikai, hanem filozófiai kérdés. Matematikai szempontból éppen annyira jól definiált fogalom, mint más számok.

A képzetes egységre a valós számoknál megszokott műveleteket is kiterjeszthetjük. Ennek módja, hogy i-t ismeretlen matematikai objektumként kezeljük. Az egyetlen átalakítás, amit megtehetünk vele kapcsolatban az, hogy alkalmazzuk a meghatározást (0 = x² + 1), és i ² helyett −1-et írunk. Ezt az elvet követve megállapítható, hogy i magasabb egész kitevős hatványai −i, 1 és i:

i ³ = i ² ⋅ i = −i,

i ⁴ = i ³ ⋅ i = −i ⋅ i = −1 ⋅ −1 = 1

i és −i

A $x^2=-1$ egyenletnek i bevezetése után 2 elkülönülő megoldása is van, amelyek egyenlően érvényesek, és történetesen az ellentettjei és reciprokai egymásnak. Pontosabban, ha egyszer az egyenlet i megoldása adott (i definíciója alapján), akkor a −i (ami nem egyenlő i-vel) is egy megoldás. Miután az egyenletet használtuk i meghatározására, úgy tűnhet, hogy az egyenlet gyökei bizonytalanok (avagy nem jól definiáltak). Azonban nincs kétértelműség, amíg a megoldások egyike ki van nevezve „pozitív i”-nek. Ez azért van, mert habár i és −i mennyiségileg nem egyenlőek (ellentettjei egymásnak), a valós számok felől közelítve minőségileg azonosak: Mindkét imaginárius szám ugyanúgy lehet az a szám, amelynek a négyzete −1. Ha minden imaginárius vagy komplex számra vonatkozó tankönyvben és publikált irodalomban a −i-t +i-re cserélnénk (és ugyanúgy minden +i-t −i-re), minden tény és elmélet ugyanúgy érvényes maradna. Az $x^2+1=0$ két $x$ gyöke közül egyik sem mondható előbbvalónak a másiknál.

Precízebben fogalmazva bár a komplex számok halmaza $ℝ[X]/(x^2+1)$-ként meghatározva egyedi az izomorfizmus szintjén (azaz minden lehetséges ilyen struktúra izomorf egymással), abban az értelemben nem egyedi, hogy pontosan 2 halmaz automorfizmusa van $ℝ[X]/(x^2+1)$-nek, az azonosság x −x-be történő autormorfikus megváltoztatásával. (Ezek nem $ℂ$ kizárólagos automorfikus csoportjai, hanem csak azok, melyek megtartják mindegyik valós számot állandóként.)

Egy hasonló probléma merül fel, ha a komplex számokat 2 × 2-es valós mátrixokként definiáljuk, mert akkor mindkét

$x=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

és

$x=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$

megoldása az :$x^2=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

mátrixegyenletnek.

Ebben az esetben a bizonytalanság abból származik, hogy melyik a „pozitív” körforgás „iránya” az egységkörben. Úgy lehetne pontosabban mondani, hogy a speciális ortogonális csoport automorf csoportja Sablon:Nowrap pontosan 2 elemet tartalmaz – az egyenlőséget egy automorfizmus váltja át az órajárással megegyező irányból órajárással ellentétes iránnyá.

Ezek a felszíni kellemetlenségek elkerülhetők a komplex szám más definícióinak használatával. Például a rendezett páron alapuló definíció esetén az imaginárius egység a (0; 1) párnak felel meg.

Pontos használat

Az imaginárius egység néha $\sqrt{-1}$-ként is megtalálható magasabb szintű matematikai szövegkörnyezetben, valamint laikusoknak szóló népszerű szövegekben is; azonban ez megtévesztő lehet. A négyzetgyökjelet általában csak a valós $x\ge 0$ számokra szokás értelmezni, esetleg komplex számoknál az elsődleges komplex négyzetgyököt lehet jelölni vele. Ha a valós számok halmazából ismert gyökvonási azonosságokat próbáljuk alkalmazni a komplex számok elsődleges gyökvonási műveletére, akkor hibás eredményeket kaphatunk:

$-1=i*i=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{-1\cdot -1}=\sqrt{1}=1$. (hibás)

A

$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

azonosság csak a és b nem negatív valós értékeinél áll fenn. Hogy elkerüljük az ilyen hibákat, miközben manipuláljuk a komplex számokat, egy lehetséges megoldás, hogy sose használjunk negatív számot a gyökjel alatt. Például $\sqrt{-7}$ helyett célszerűbb $i\sqrt{7}$-t írni.

Az imaginárius egység négyzetgyöke

Azt hihetnénk, hogy kénytelenek vagyunk kitalálni egy újabb adag imaginárius számot, hogy kifejezhessük i négyzetgyökét. Azonban ez nem szükséges, mert kifejezhető mint két komplex szám egyike:

$\pm \sqrt{i}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$, amennyiben $(\sqrt{C}{)}^2=i$

Ez levezethető Euler formulájából:

$i=\cos (\pi /2)+i\sin (\pi /2)$

és

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

ezért

$e^{i(\pi /2)}=i$

négyzetgyököt vonva mindkét oldalból:

$e^{i(\pi /4)}=i^{1/2}$

ha x = π/4 in cos(x), akkor

$\begin{array}{cc}\pm \sqrt{i}& =\cos (\pi /4)+i\sin (\pi /4)\\ & =\frac{1}{\pm \sqrt{2}}+\frac{i}{\pm \sqrt{2}}\\ & =\frac{1+i}{\pm \sqrt{2}}\\ & =\frac{\pm \sqrt{2}(1+i)}{2}\\ & =\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).\\ \end{array}$

Ennek helyességét a következőkből tudhatjuk:

${(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i))}^2$	$={(\pm \frac{\sqrt{2}}{2})}^2(1+i{)}^2$
	$=\frac{1}{2}(1+i)(1+i)$
	$=\frac{1}{2}(1+2i+i^2)(i^2=-1)$
	$=\frac{1}{2}(1+2i-1)$
	$=\frac{1}{2}(2i)$
	$=i.$

Köbgyöke

Az i köbgyökei:

$-i,$

$+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}.$

A többi egységgyökhöz hasonlóan egy egységkörbe írt szabályos sokszög csúcsain helyezkednek el.

i reciproka

i reciproka könnyedén kifejezhető:

$\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot \frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i$

Használva az azonosságot, hogy általánosítsuk az osztást minden i komplex számra:

$\frac{a+bi}{i}=-i(a+bi)=-ai-b{i}^2=b-ai$

i hatványai

i hatványai egy körben ismétlődnek:

$\dots$

$i^{-3}=i$

$i^{-2}=-1$

$i^{-1}=-i$

$i^0=1$

$i^1=i$

$i^2=-1$

$i^3=-i$

$i^4=1$

$i^5=i$

$i^6=-1$

$\dots$

Ezt a következő sorozattal fejezhetjük ki, ahol n egész szám:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i.$

Ebből következik, hogy:

$i^n=i^{nmod4}$

ahol mod a modulus művelet.

i és Euler képlete

Euler képlete a következő:

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$ ,

ahol x egy valós szám. A függvény analitikusan kiterjeszthető komplex x-re is. Az x = π helyettesítés a következőt eredményezi:

$e^{i\pi }=\cos (\pi )+i\sin (\pi )=-1+i0$

és meg is kapjuk az elegáns Euler-azonosságot:

$e^{i\pi }+1=0.$

Ez a rendkívül egyszerű egyenlet összekapcsol öt alapvető matematikai mennyiséget (0, 1, π, e és i) az összeadás, szorzás és hatványozás egyszerű műveletével.

Példa

x = π/2 − 2Nπ helyettesítése, ahol N egy tetszőleges egész szám, a következőt adja:

$e^{i(\pi /2-2N\pi )}=i.$

vagy, mindkettőt i hatványra emelve:

$e^{ii(\pi /2-2N\pi )}=i^i$

vagy

$e^{-(\pi /2-2N\pi )}=i^i$,

ami megmutatja, hogy iⁱ-nek végtelen számú előállítása van az alábbi formában:

$i^i=e^{-\pi /2+2\pi N}$

ahol N akármelyik egész szám. Az igazi érték, habár igazi, nem az egyedüli: ennek az az oka, hogy a komplex logaritmus többértékű képlet.

Műveletek i-vel

Alapműveletek

Az i-vel való szorzás a pozitív irányú 90 fokos forgatásnak felel meg:

$i(a+bi)=ai+b{i}^2=-b+ai.$

Az i-vel való osztás ugyanazt az eredményt adja, mint a reciprokkal való szorzás:

$\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot \frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i.$

Ezzel az i-vel való osztás eredménye:

$\frac{a+bi}{i}=-i(a+bi)=-ai-b{i}^2=b-ai.$

vagyis megfelel egy negatív irányú 90 fokos forgatásnak.

További műveletek

Sok valós számmal elvégezhető művelet elvégezhető i-vel is, úgy mint a hatványozás, a gyökvonás, logaritmizálás és trigonometrikus egyenletek megoldása.

Egy szám ni-edik hatványa:

$x^{ni}=\cos (\ln (x^n))+i\sin (\ln (x^n))$.

Egy szám ni-edik gyöke:

$\sqrt[ni]{x}=\cos (\ln (\sqrt[n]{x}))-i\sin (\ln (\sqrt[n]{x})).$

Egy szám i alapú logaritmusának főértéke:

${\log }_i(x)=\frac{2\ln (x)}{i\pi }.$

i koszinusza egy valós szám:

$\cos (i)=\cosh (1)=\frac{e+1/e}{2}=\frac{e^2+1}{2e}=1,54308064.$

és i szinusza imaginárius:

$\sin (i)=\sinh (1)i=\frac{e-1/e}{2}i=\frac{e^2-1}{2e}i=1,17520119i.$

A faktoriális általánosítása a teljes gammafüggvény: 1 + i:

$i!=\mathrm{\Gamma }(1+i)\approx 0,4980-0,1549i.$

Továbbá,

$|i!|=\sqrt{\frac{\pi }{\sinh \pi }}$

i az i-ediken

Az Euler-formulával kifejezve:

$i^i={\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)}^i=e^{i^2(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}$

ahol $k\in \mathbb{Z}$ tetszőleges egész szám. Ennek főértékét k = 0 adja, ami valós szám: e^−π/2, értéke megközelítőleg 0,207879576...

Alternatív jelölések

• Az elektronikában és a kapcsolódó területeken az imaginárius egység gyakran $j$-ként van jelölve, hogy elkerüljék az áramerősséggel való felcserélését. A Python is a j-t használja az imaginárius egység jelölésére, a Matlabban pedig az i-t és a j-t is használhatjuk.
• Különleges odafigyelést igényelnek az olyan szövegek, melyek a j-t -i-ként definiálják.
• Néhány szöveg az ι-t (iótát) használja az imaginárius egység jelölésére.