Gyökkritérium

A Cauchy-kritérium megadja a numerikus sor konvergenciájának pontos feltételét, azonban a gyakorlatban ritkán használható, mert nehéz ellenőrizni. Ezért szükség van egyszerűbben ellenőrizhető kritériumokra is.

Gyökkritérium: Ha van olyan 0<q < 1 szám, amelyre $\sqrt[n]{|a_n|}<q$ teljesül minden elég nagy n esetén, akkor a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ sor abszolút konvergens, vagyis konvergens is, hiszen az abszolút konvergenciából következik a konvergencia.

Bizonyítás: A feltétel szerint $|a_n|<q^n$ minden elég nagy n-re. Mivel a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n$ sor konvergens, ha 0<q < 1, így alkalmazható a majoráns kritérium és épp a bizonyítandó állítást kapjuk.

Források

• Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007) Sablon:ISBN
• Császár Ákos: Valós analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999) Sablon:ISBN

Kapcsolódó szócikkek

• Hányadoskritérium