Sarrus-szabály

Grafikus segítség a Sarrus-szabály alkalmazásához: a determináns kiszámolásához a folyamatos vonalak elemeinek szorzatainak összegét, illetve a szaggatott vonalak elemeinek szorzatának különbségét kell venni

A Sarrus-szabály a lineáris algebrában használt egyszerű módszer, melynek segítségével könnyedén meghatározható egy 3×3-as négyzetes mátrix determinánsa. A szabály nevét Pierre Frédéric Sarrus francia matematikusról kapta.

A szabály a következő: vesszük a főátlóbeli elemek szorzatát, majd hozzáadjuk az első oszlop legalsó elemének, az első sor második elemének, valamint a harmadik oszlop második elemének szorzatát, illetve a kapott eredményhez ismét hozzáadjuk az eddig kimaradt elemek szorzatát. Ebből az eredményből eztán kivonjuk a mellékátló elemeinek szorzatát, majd az első sor első elemének, a második sor utolsó elemének, illetve a harmadik sor középső (második) elemének a szorzatát, valamint a fennmaradó három elem szorzatát. A kapott eredmény a determináns értéke.

Bizonyítása

Legyen M egy általános 3×3-as mátrix:

$M:=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right).$

Most az M első sorára alkalmazzuk a kifejtési tételt, majd háromszor is felhasználjuk a 2×2-es mátrix determinánsának kiszámolási szabályát, utolsó lépésben pedig a kapott összeget átrendezzük:

$\begin{array}{cc}\det (M)& =\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=\\ & =a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|=\\ & =a_{11}(a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32})-a_{12}(a_{21}{a}_{33}-a_{23}{a}_{31})+a_{13}(a_{21}{a}_{32}-a_{22}{a}_{31})=\\ & =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{31}{a}_{22}{a}_{13}-a_{32}{a}_{23}{a}_{11}-a_{33}{a}_{21}{a}_{12}.\end{array}$