Kihajlás

A kihajlás az a mechanikai jelenség, amely keresztmetszetéhez képest hosszú egyenes rúd tengelyébe eső, megfelelően nagy nyomóerő hatására bekövetkezik.

Ha a nyomóerő kicsi, a rúd kissé összenyomódik, de egyenes marad. Ha a nyomóerőt növeljük, akkor egy bizonyos kritikus értéknél a rúd elgörbül, kihajlik és eltörik. Azt az erőt, amelynél a rúd eltörik, kritikus törőerőnek nevezik. Kis nyomóerő esetén a nyomott rúd stabil egyensúlyi helyzetben van, mivel ha a rúdra merőleges kis erővel terheljük, a rúd meggörbül, de a merőleges erő megszüntetésével visszatér eredeti helyzetébe. A törőerő elérésekor a kis oldalirányú erő okozta alakváltozás az erő megszüntetése után is megmarad. Ekkor a rúd közömbös (indifferens) egyensúlyi helyzetben van. Ha a rúd terhelése a kritikus törőerőnél nagyobb, a kitérés addig fokozódik, amíg a rúd eltörik, vagyis a rúd állapota instabil.

Euler képlete

Kihajló rúd

Leonhard Euler 1757-ben a meghatározta a kritikus törőerő nagyságát arra az esetre, ha a törőerő által okozott nyomófeszültség kisebb, mint a rúd anyagának folyáshatára, más szóval, ha rugalmas kihajlás esete forog fenn. Ebben az esetben felírható a rugalmas szál differenciálegyenlete:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{M}{IE}$,

ahol az x tengelyt a rúd tengelyében vesszük fel, origójával a rúd egyik csuklós végpontjában (ahol a csukló miatt nyomaték nem ébredhet), az y tengely erre merőleges, M a rúd egy tetszőleges pontját terhelő hajlító nyomaték, I a rúd keresztmetszetének legkisebb másodrendű nyomatéka, E pedig a rúd anyagának rugalmassági modulusa. Az M hajlítónyomaték az F_t törőerő és az y kitérés szorzata:

$M=F_{t}y$.

Végül, ha bevezetjük az

${\alpha }^2=\frac{F_t}{IE}$

jelölést, a differenciálegyenlet ilyen alakú lesz:

$y^{\prime \prime }+{\alpha }^{2}y=0$.

Ennek az egyenletnek az általános megoldása:

$y=A\sin (\alpha x)+B\cos (\alpha x)\frac{}{}$,

ahol A és B a peremfeltételektől függ. Mivel az l hosszúságú rúd mindkét végén csuklós megfogású,

$y(0)=0\frac{}{}$ és $y(l)=0\frac{}{}$, így

$B=0\frac{}{}$ és

$A\sin (\alpha l)=0\frac{}{}$.

Ez utóbbi nem triviális megoldásaiból gyakorlatilag az az érdekes eset, ha $\alpha l=\pi \frac{}{}$. Visszahelyettesítve az értékeket a kritikus törőerő értékét kapjuk:

$F_t={\left(\frac{\pi }{l}\right)}^{2}IE$.

Ha a nyomott rúd nem csuklóval rendelkezik a végén, a differenciálegyenlet azonos lesz, csak a peremfeltételek lesznek eltérőek és ezek befolyásolják a törőerő nagyságát. Az alábbi ábra szerinti esetekre összefoglalóan a következő összefüggés írható:

$F_t={\left(\frac{\pi }{l_r}\right)}^{2}IE$,

$l_r=\mu l$

ahol μ a befogás fajtájától függő tényező, értéke az ábrán látható.

A gyakorlatban a törést okozó σ_t nyomófeszültséget szokás számolni:

${\sigma }_t=\frac{F_t}{T}$,

ahol T a keresztmetszet területe. A másodrendű nyomaték az i inerciasugárral is felírható:

$I=i^{2}T$,

és bevezetve a

$\lambda =\frac{l_r}{i}$,

karcsúságot, az Euler-képlet a törőfeszültségre így írható:

${\sigma }_t={\left(\frac{\pi }{\lambda }\right)}^{2}E$,

Tetmajer képlete

Törőfeszültség a karcsúság függvényében

A törőfeszültség csak akkor számítható a fenti összefüggés segítségével, ha az az arányossági határnál kisebb. Ebben a tartományban rugalmas kihajlásról beszélünk. Ha a törőfeszültséget a karcsúság függvényében ábrázoljuk, eredményül egy másodfokú hiperbolát, az úgynevezett Euler-hiperbolát kapjuk, amely azonban csak az arányossági határig érvényes. A σ_F folyáshatár a törőfeszültség felső határát jelenti. A folyáshatár és az arányossági határ között plasztikus kihajlásról beszélünk. Ebben a tartományban a magyar származású Tetmajer Lajos kísérletei szerint a λ - σ_t diagramban egy egyenessel ábrázolhatók. Ezek szerint:

${\sigma }_t=\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{\pi }{\lambda }\right)}^{2}E,& \text{ha }\sigma \le {\sigma }_p\\ a-b\lambda & \text{ha }{\sigma }_p\le \sigma \le {\sigma }_F\\ {\sigma }_F& \text{ha }\sigma \ge {\sigma }_F\end{array}$,

Törőfeszültség számítása

Anyag	Szakítószilárdság MPa	III. szakasz λ<λF		II. szakasz λF <λ< λe		I. szakasz λ>λe σt MPa
		σt = σF MPa	λf	σt = a - bλ MPa	λe
Szénacél	370	240	60	308–1,14λ	105	$\frac{1441^2}{{\lambda }^2}$
	480	310	60	467–1,62λ	100	$\frac{1432^2}{{\lambda }^2}$
	520	360	60	589–3,82λ	100	$\frac{1432^2}{{\lambda }^2}$
Ötvözött acél	650	420	22	470–2,30λ	86	$\frac{1419^2}{{\lambda }^2}$
Dúralumínium	420	–	0	380–2,20λ	50	$\frac{820^2}{{\lambda }^2}$
Öntöttvas	–	–	5	776–12λ+0,053λ²	80	$\frac{997^2}{{\lambda }^2}$
Fenyőfa	–	–	0	30–0,2λ	100	$\frac{316^2}{{\lambda }^2}$
Tölgyfa	–	–	0	37,5–0,25λ	100	$\frac{354^2}{{\lambda }^2}$

Források

• Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. Sablon:ISBN
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

Külső hivatkozások

• Agárdy Gyula-Lublói László: Mechanika II.