Sík (geometria)

A sík a geometriában, azon belül tipikusan a kétdimenziós síkgeometriában és a háromdimenziós térgeometriában fontos fogalom. Leírása, és nem definíciója szerint végtelenül kiterjedt, kétdimenziós objektum. Ha egy egy sík egy egyenes két pontját tartalmazza, akkor a sík a teljes egyenest tartalmazza.

Konkrétabban a matematika különböző részterületei különböző objektumokat tekintenek síknak.

Definíciója

Euklidész az Elemekben (az egyeneshez hasonlóan) előbb a felületet definiálja: Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van, és csak ezután határozza meg a síkot: Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik. Ma már a síkot is alapfogalomnak tekintjük a geometriában, tehát nem definiáljuk.

Jellemzése

Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:

Kétdimenziós objektum,^[1] azaz két, egymástól különböző irányban végtelen, a harmadik irányban 0 a kiterjedése.
Három nem kollineáris^[2] pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.

Önálló objektum

A legkisebb affin sík (négy pont, hat egyenes)

Klasszikus síkfogalom

A klasszikus geometriában az (euklideszi) sík geometriai vizsgálatok tárgya, például abból a szempontból, hogy milyen alakzatok szerkeszthetők meg körzővel és vonalzóval. A sík (ebben az összefüggésben határozott névelővel, mint ami nincs magasabb dimenzióba ágyazva) a rajzlap absztrakciója, ami végtelenül lapos és végtelenül kiterjedt; ahogy az egyenes a ceruzával vagy más eszközzel meghúzott vonal végtelenül vékony és végtelenül hosszú absztrakciója. A modern geometriát a Hilbert-féle axiómarendszer írja le.

Descartes óta a sík azonosítható a valós számok rendezett párosaival, $ℝ^{2}$ -tel. Más szóval, $ℝ^{2}$ a Hilbert-féle geometria modellje. Ezt a valós vektorteret is nevezik síknak.

Projektív sík

A projektív sík megkapható úgy, hogy egyeneseinek párhuzamos nyalábjaihoz hozzáveszünk egy-egy végtelen távoli pontot, és ezek halmazát a sík végtelen távoli egyenesének tekintjük.

Az így kapott projektív sík is leírható algebrailag: homogén valós számhármasokat veszünk. Itt a homogén szó azt jelenti, hogy ha egy számhármas minden tagját ugyanazzal a nullától különböző valós számmal szorozzuk, akkor az új hármas ugyanazt a pontot adja meg, mint a régi. Ugyanezek a hármasok írják le $ℝ^{3}$ egydimenziós altereit; azaz a projektív sík pontjai azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő egyeneseivel. A projektív sík egyenesei hasonlóan azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő síkjaival.

Általánosítások

Ha gyengítjük a Hilbert-féle axiómákat, például lehetővé tesszük a végességet, akkor véges struktúrákhoz jutunk, melyeket affin vagy projektív síkoknak nevezünk. A legkisebb projektív sík hét pontot és hét egyenest tartalmaz. Tetszőleges egyenes és annak pontjainak eltávolításával affin síkhoz jutunk, négy ponttal és hat egyenessel.

A Descartes-féle modell általánosításában ahelyett, hogy a valós számokkal koordinátáznánk a síkot, egy tetszőleges $K$ testet használunk. Így jutunk a $K^{2}$ kétdimenziós vektorterekhez, melyek affin síkokat írnak le. A $K^{3}$ affin terek segítségével pedig projektív síkok írhatók le. Azonban belátható, hogy nem minden projektív sík írható le ezzel a módszerrel.

Ha $K = ℂ$ , akkor meg kell jegyeznünk, hogy a komplex számok valós értelemben már maguk kétdimenziós teret alkotnak. Így a komplex egyenes kétdimenziós, a komplex sík négydimenziós, azonban csak kétdimenziós komplex vektortér. Ha $K$ véges, akkor véges síkokhoz jutunk. Ha például $K = 𝔽_{2}$ , akkor a fent leírt legkisebb projektív, illetve affin síkokhoz jutunk.

Topológiai értelemben a sík csak $K = ℝ$ esetén felület. A $K = ℂ$ esetben komplex felület.

Sík megadása az analitikus geometriában

Egy sík egyenlete egy olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon. Az egyenlet különböző alakokat ölthet, attól függően, hogy mely adatokból számították ki.

Legyen $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ a sík egy pontja és egy $(a, b, c)$ normálvektor.^[3] Ekkor a sík egyenlete:

a x + b y + c z = d

ahol a d konstans a következőképpen adódik:

d = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}

A sík egyenlete a skaláris szorzat fogalmát felhasználva is megfogalmazható:

⟨ (x, y, z), (a, b, c) ⟩ = d

A tengelymetszeti egyenlet alakja:

\frac{x}{x_{0}} + \frac{y}{y_{0}} + \frac{z}{z_{0}} = 1

ahol $(x_{0}, 0, 0)$ , $(0, y_{0}, 0)$ és $(0, 0, z_{0})$ a sík koordinátategelyekkel vett metszéspontjai. Ha a sík párhuzamos valamelyik tengellyel, akkor az egyenletben nem szerepel az annak megfelelő koordinátát tartalmazó term.

A sík paraméteres egyenlete:

\vec{x} = \vec{p} + s \vec{u} + t \vec{v}

s, t \in ℝ

alakú, ahol $\vec{p}$ támaszvektor, $\vec{u}$ és $\vec{v}$ irányvektorok. A $\vec{p}$ pont a sík tetszőleges pontja, $\vec{u}$ és $\vec{v}$ párhuzamosak a síkkal úgy, hogy nem konstansszorosai egymásnak. Az irányvektorok affin koordináta-rendszert feszítenek ki, amiben $(s, t)$ a sík pontjainak koordinátái.

A sík hárompontos egyenlete

\vec{x} = \vec{p} + s (\vec{q} - \vec{p}) + t (\vec{r} - \vec{p})

s, t \in ℝ

alakú, ahol $\vec{p}$ , $\vec{q}$ és $\vec{r}$ a sík egymástól különböző pontjai, melyek nincsenek egy egyenesen.

A sík normálegyenlete

(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0

alakú, ahol $\vec{p}$ a sík támaszvektora, és $\vec{n}$ normálvektor. A skaláris szorzat pontosan akkor nulla, ha a normálvektor merőleges a sík pontjának, mint normálvektornak és a támaszpont, mint helyvektornak különbségére. A sík feszítő vektoraira teljesül, hogy $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ .

A sík Hesse-féle normálegyenlete

\vec{x} \cdot {\vec{n}}_{0} = d

alakú, ahol ${\vec{n}}_{0}$ egységnyi hosszú, a sík irányába mutató normálvektor, és $d$ a sík távolsága az origótól.

Magasabb dimenziós terekben a sík lineáris 2-sokaság az $ℝ^{n}$ $n$ -dimenziós térben. A fenti implicit alakban adott egyenletek ezekben a terekben hipersíkokat írnak le. A síkok egyenletrendszere $n - 2$ egyenletből álló egyenletrendszerrel írható le, mivel ennyi hipersík metszetéből áll elő. Ezeknek a hipersíkoknak egymástól független normálvektorai kellenek, hogy legyenek.

Metszéspontok háromdimenziós térben

Egyenes és sík metszete

A térben az egyeneseket rendszerint $(x (t), y (t), z (t))$ paraméterábrázolással, a síkokat $a x + b y + c z = d$ egyenlettel írják le. Behelyettesítve az egyenes paraméteres ábrázolását a sík egyenletébe adódik az

a x (t) + b y (t) + c z (t) = d,

lineáris egyenlet a metszéspont $t_{0}$ paraméterére. Ha az egyenletnek nincs megoldása, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal. Ha az egyenletnek minden $t \in ℝ$ megoldása, akkor az egyenes a síkban van.^[4]

Három sík metszéspontja

Ha az egyenes két sík metszeteként van megadva, és keressük a metszéspontját egy síkkal, akkor három sík metszéspontját kell meghatározni.

Legyenek a síkok $ε_{i} : {\vec{n}}_{i} \cdot \vec{x} = d_{i}, i = 1, 2, 3$ ! Ha ${\vec{n}}_{1}, {\vec{n}}_{2}, {\vec{n}}_{3}$ normálvektoraik lineárisan függetlenek, akkor a metszéspont

{\vec{p}}_{0} = \frac{d_{1} ({\vec{n}}_{2} \times {\vec{n}}_{3}) + d_{2} ({\vec{n}}_{3} \times {\vec{n}}_{1}) + d_{3} ({\vec{n}}_{1} \times {\vec{n}}_{2})}{{\vec{n}}_{1} \cdot ({\vec{n}}_{2} \times {\vec{n}}_{3})} .

A bizonyításhoz vegyük figyelembe, hogy ${\vec{n}}_{i} \cdot {\vec{p}}_{0} = d_{i}, i = 1, 2, 3,$ és a skaláris szorzásra vonatkozó szabályokat.^[4]

Pont és sík távolsága

A $\vec{p_{0}} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ pont és az $a x + b y + c z + d = 0$ egyenletű sík távolsága:

\frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

Ha a sík adott a $\vec{p_{1}} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , $\vec{p_{2}} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ , $\vec{p_{3}} = (x_{3}, y_{3}, z_{3})$ pontokkal, akkor a távolság számítható a

\frac{(\vec{p_{2}} - \vec{p_{1}}) \times (\vec{p_{3}} - \vec{p_{1}})}{| (\vec{p_{2}} - \vec{p_{1}}) \times (\vec{p_{3}} - \vec{p_{1}}) |} \cdot (\vec{p_{0}} - \vec{p_{1}})

képlettel, ahol $\times$ jelöli a vektoriális szorzatot, $\cdot$ a skaláris szorzatot, és $| |$ egy vektor hosszát. Alternatív módszerként el lehet végezni az

a = y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1} + y_{2} z_{3} - y_{3} z_{2} + y_{3} z_{1} - y_{1} z_{3}

b = z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1} + z_{2} x_{3} - z_{3} x_{2} + z_{3} x_{1} - z_{1} x_{3}

c = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2} + x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3}

d = x_{1} y_{2} z_{3} - x_{1} y_{3} z_{2} + x_{2} y_{3} z_{1} - x_{2} y_{1} z_{3} + x_{3} y_{1} z_{2} - x_{3} y_{2} z_{1}

helyettesítést.^[5]

Jegyzetek

Sablon:Jegyzetek

Források

Fordítás

Sablon:Fordítás

Kapcsolódó szócikkek

Sablon:Nemzetközi katalógusok Sablon:Portál

↑ Az n-dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az (n–1)-dimenziós hipersíkok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenlete $a x + b y + c = 0$ alakú!
↑ Nem egy egyenesre illeszkedő.
↑ Olyan vektor, ami merőleges a síkra. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ . Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.
↑ ^4,0 ^4,1 CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt)
↑ Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance

[1] Az n-dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az (n–1)-dimenziós hipersíkok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenlete $a x + b y + c = 0$ alakú!

[2] Nem egy egyenesre illeszkedő.

[3] Olyan vektor, ami merőleges a síkra. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ . Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.

[:0-4] 4,0 ^4,1 CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt)

[5] Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Sík (geometria)

Tartalomjegyzék

Definíciója

Jellemzése