Köbszámok

A köbszámok (teljes köbök, vagy teljes harmadik hatványok) az n³ = n·n·n alakban írható számok, ahol n egész. Figurális számok, ezen belül poliéderszámok: a kocka alakban elrendezett pontok darabszámaiként is definiálhatók. Elnevezésükben a köb a latin cubus, vagyis kocka szóból származik.

Az első néhány pozitív köbszám az 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000... (Sablon:OEIS)

A köbszámok tulajdonságai

• Végtelen sok köbszám van.

• Köbszám ellentettje is köbszám.

• Köbszámok szorzata is köbszám, mert (a·a·a)·(b·b·b)=(a·b)·(a·b)·(a·b), ami köbszám.

• Egységoldalú kockákból összerakott tömör kocka térfogata csak pozitív köbszám lehet.

• A köbszámok a négyzetszámok többszörösei, de van olyan négyzetszám, amely köbszám is egyben. Ezek egészek hatodik hatványai.

• Két (nem feltétlenül különböző) pozitív köbszám összege sohasem köbszám. Ez a nagy Fermat-tétel 3 kitevőre vonatkozó speciális esetének következménye. (Többtagú összegek esetében viszont már lehetséges ez: n³-t önmagával összeadva (n³)²-szer, (n³)³ adódik, ami persze köbszám. De három köbszám összege is lehet köbszám, pl. 216=125+64+27, azaz 6³=5³+4³+3³.)

• Az első n pozitív köbszám összege az n-edik háromszögszám négyzete.

$\sum _{i=1}^n{i}^3=1^3+2^3+\dots +n^3=(1+2+\dots +n{)}^2={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$

• Ha a pozitív páratlan számok sorozatát egy, kettő, három, … hosszú blokkokra osztjuk, akkor az egyes blokkok összege rendre kiadja a pozitív köbszámokat:

$\underset{1}{\underbrace{1}}\underset{8}{\underbrace{35}}\underset{27}{\underbrace{7911}}\underset{64}{\underbrace{13151719}}\underset{125}{\underbrace{2123252729}}\dots$

• Az első n középpontos hatszögszám összege az n-edik köbszám:

$\begin{array}{cc}1& =1\\ 8& =1+7\\ 27& =1+7+19\\ 64& =1+7+19+37\\ 125& =1+7+19+37+61\\ & ⋮\end{array}$

(Az első néhány középpontos hatszögszám: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271.)

• Minden természetes szám felírható legfeljebb kilenc nem negatív köbszám összegeként.
• $3^3+4^3+5^3=6^3$
• Minden racionális szám felírható három olyan tört összegeként, amelyekben a számláló és a nevező is köbszám, és ennyire szükség is van.

• A pozitív köbszámok reciprokainak összege az Apéry-konstans (a névadója bizonyította be, hogy ez egy irracionális szám), ami a Riemann-féle zéta-függvény által 3-ban felvett érték:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}=\zeta (3)\approx 1,20205$

• Generátorfüggvény: $\sum _{i\ge 0}{i}^3{x}^i=x+8x^2+27x^3+64x^4+\dots =\frac{x(x^2+4x+1)}{(x-1{)}^4}$

• Két pozitív köbszám össze sosem köbszám. Képlettel, az $a^3+b^3=c^3$ egyenlőség nem oldható meg a pozitív egészek halmazán. Ezt Leonhard Euler látta be 1753-ban. Három taggal azonban van megoldás csak pozitív egészekkel, például $3^3+4^3+5^3=6^3$

• Ha modulo 9 nézzük a köbszámok sorozatát, akkor a $0,1,8,\dots$ (Sablon:OEIS) periodikus sorozatot kapjuk. Ez abból adódik, hogy $x^{3}mod9=(xmod3{)}^3,D=\{x\in \mathbb{Z}\}$.

Tízes számrendszerben a köbszámok a következő végződésűek lehetnek: 000, 1, 8, 7, 4, 125, 375, 625, 875, 6, 3, 2 vagy 9 a következő szabályok szerint:

• Ha a szám utolsó számjegye 0, akkor a köbe 000-ra végződik és az azt megelőző számjegyek is köbszámot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 1, akkor a köbe is 1-re végződik.
• Ha a szám utolsó számjegye 2, akkor a köbe 8-ra végződik, és az azt megelőző számjegyek 4-gyel oszható számot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 3, akkor a köbe 7-re végződik.
• Ha a szám utolsó számjegye 4, akkor a köbe is 4-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel nem osztható páros számot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 5, akkor a köbe 125-re, 375-re, 625-re vagy 875-re végződik.
• Ha a szám utolsó számjegye 6, akkor a köbe is 6-ra végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztva 1 maradékot adó páratlan számot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 7, akkor a köbe 3-ra végződik.
• Ha a szám utolsó számjegye 8, akkor a köbe 2-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztva 3 maradékot adó páratlan számot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 9, akkor a köbe is 9-re végződik.

Harmadrendű számtani sorozat

Az első néhány köbszám:

1 8 27 64 125

Az 1 és 8 különbsége 7, 8 és 27 különbsége 19, 27 és 64 különbsége 37, 64 és 125 különbsége pedig 61. 7 és 19 között a különbség 12, 19 és 37 között 18, 61 és 37 között 24. 12 és 18 között pedig 6, 18 és 24 között 6. Ez egy szabály, melyet a sorozat folytatása is követ.

Ez nem csoda, hiszen köbszámok sorozatát az n³ = n·n·n polinom írja le, ami harmadfokú polinom. A számtani sorozat rendje megegyezik annak a polinomnak a rendjével, ami leírja. Megfordítva, a polinommal leírható sorozatok általánosított számtani sorozatok.

Generátorfüggvény

Minden $(a_i{)}_{i\ge 0}$ valós számsorozathoz formális hatványsor rendelhető, $\sum _{i\ge 0}{a}_i{x}^i$. Ez az adott számsorozat generátorfüggvénye. Ebben az összefüggésben a köbszámok sorozatát nullától kezdik:

$0,1,8,27,64,\dots$

Ezzel a köbszámok generátorfüggvénye

$\sum _{i\ge 0}{i}^3{x}^i=x+8x^2+27x^3+64x^4+\dots =\frac{x(x^2+4x+1)}{(x-1{)}^4},$

ahol $x\in (-1,1)$.

Fordítás

• Sablon:Fordítás

Források

• Sablon:Mathworld
• Sablon:Citation

További információk

• Sablon:Mathworld