Cauchy–Riemann-egyenletek

A matematikai analízisben Cauchy–Riemann-egyenleteknek az $$\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$$ egyenleteket nevezzük, ahol u(x,y) és v(x,y) nyílt halmazon értelmezett, R-be képező parciálisan differenciálható kétváltozós valós függvények.

A C–R-egyenletek jelentőségére Riemann mutatott rá, amikor igazolta, hogy egy f = u + iv komplex függvény akkor és csak akkor differenciálható komplex módon egy z = x + i y pontban, ha

1. f totálisan differenciálható az (x,y) pontban mint kétváltozós függvény és

2. az u, v komponensfüggvények teljesítik a C–R-egyenleteket az (x,y) pontban.

Geometriai kényszer

Az f:C $\to$ C holomorf függvény esetén f = f₁ + if₂ komplex differenciálhatósága a z = x + i y pontban a

$f^{\prime }(z)=\underset{w\to 0}{\lim }\frac{f(z+w)-f(z)}{w}\in 𝐂$

komplex határérték létezését (a komplex derivált létezését) jelenti. Az f = f₁ + i f₂ komplex függvény felfogható f=(f₁,f₂ ): R² $\to$ R² függvényeknek is. A kérdés, hogy az f kétváltozós függvény

$Df(x,y)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial x}& \frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y}\\ \frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x}& \frac{\partial f_2(x,y)}{\partial y}\end{array}\right)$

Jacobi-mátrixának (deriválttenzorának) létezése milyen kapcsolatban van az f ' (z) komplex derivált létezésével.

Df(x,y) egy, a valós test feletti R² $\to$ R² lineáris leképezés. Egy ilyen, valós test feletti, A lineáris operátor pontosan akkor komplex test feletti lineáris operátor, ha minden (x,y) vektorra $\mathbf{\text{A}}(i\cdot (x,y))=i\cdot \mathbf{\text{A}}((x,y))$ . Lineáris leképezés révén ezt a feltételt elegendő a két szokásos bázisvektorra felírni: (1,0) ∈ R²-re és (0,1) ∈ R²-re. Már csak azt kell felhasználnunk, hogy az i-vel való szorzás R²-ben megfelel az $\mathbf{\text{M}}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ mátrixszal való szorzásnak. Tehát a fenti feltétel ekvivalens az $\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{M}}=\mathbf{\text{M}}\mathbf{\text{A}}$ egyenlőséggel. A Jacobi-mátrixra alkalmazva ezt az egyenlőséget pont a C–R-egyenleteket kapjuk.

A komplex derivált kiszámítása

Az eredményhez a komplex derivált definíciójából is eljuthatunk, ha mindkét tengely irányából közelítve adjuk meg a derivált értékét. Legyen

f(z) = u(x, y) + i v(x, y)

és komplex differenciálható z-ben. Ekkor

$f^{\prime }(z)$	$=\underset{w\to 0}{\lim }\frac{f(z+w)-f(z)}{w}$
	$=\underset{w\to 0}{\lim }\frac{u(x+w,y)+iv(x+w,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]}{w}$
	$=\underset{w\to 0}{\lim }\frac{[u(x+w,y)-u(x,y)]+i[v(x+w,y)-v(x,y)]}{w}$
	$=\underset{w\to 0}{\lim }[\frac{u(x+w,y)-u(x,y)}{w}+i\frac{v(x+w,y)-v(x,y)}{w}].$

Kifejeztük tehát a deriváltat a parciális deriváltakkal:

$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}.$

Hasonlóképpen:

$f^{\prime }(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}.$

A két irányból kapott értékeknek meg kell egyezniük, így

$\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}.$

Két komplex szám pedig akkor és csak akkor egyenlő, ha valós és imaginárius részeik rendre egyenlők:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$