Evolvens

Körevolvens

Egy görbe evolvense egy sima görbe, melyet úgy kapunk, hogy a görbére felcsévélünk egy fonalat, majd mindig feszesen tartva lecsévéljük róla. Végpontjának pályája a görbe evolvensét írja le. Az evolvens olyan ruletta, amelynél a legördülő elem egyenes, melynek egy adott pontja generálja az evolvenst.

Analitikailag: ha a $r:ℝ\to {ℝ}^n$ függvény a görbe természetes parametrikus alakja (vagyis $|r^{\prime }(s)|=1$ minden s-re), akkor

az evolvens parametrikus alakja:

$t\mapsto r(t)-t{r}^{\prime }(t)$

Egy parametrikus egyenleteivel definiált görbe evolvensének egyenletei:

$X[x,y]=x-\frac{x^{\prime }\underset{a}{\overset{t}{\int }}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}dt}{\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}}$

$Y[x,y]=y-\frac{y^{\prime }\underset{a}{\overset{t}{\int }}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}dt}{\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}}$

Példák

Körevolvens

Körevolvens
A – alappont, a – alapkör, e – evolvens, i = ρ – ív, t – érintő, v – vezérsugár, ρ – görbületi sugár – lefejtő sugár

A kör evolvense egy spirális görbe. Derékszögű koordináta-rendszerben a görbe egyenletrendszere:

$x=\frac{}{}a(\cos t+t\sin t)$

$y=\frac{}{}a(\sin t-t\cos t)$

Ahol t a szög és a a kör sugara.

A körevolvens ívhossza:

$s=\widehat{AP}=\frac{{\rho }^2}{2a}=\frac{a{t}^2}{2}=\frac{r^2-a^2}{2a}$

A görbületi kör sugara:

$\rho =\overline{PT}=at$

Az APO szektor területe:

$T=\frac{a^2{t}^3}{6}=\frac{\rho s}{3}$

Az x tengelyt a görbe az $x=\frac{a}{\cos {\phi }_0}$ abszcisszánál metszi, ahol ${\phi }_0$ a $\tan \phi =\phi$ egyenlet gyöke.

A körevolvensnek nagy jelentősége van a fogaskerekes hajtóműveknél: a jelenleg gyártott fogaskerekek túlnyomó részénél evolvens fogazatot használnak. A fogaskerék geometriai számításainál az alábbi egyenleteket használják:

$\text{inv}\alpha =\frac{}{}\tan \alpha -\alpha$

$r=\frac{r_a}{\cos \alpha }$

ahol az egyes jelölések az ábra szerintiek. Itt r_a az alapkör sugara, α a lefejtőszög, inv α pedig az evolvensszög.

Láncgörbe evolvense

A láncgörbe csúcspontjából kiinduló evolvense egy traktrix. Derékszögű koordinátákkal kifejezve a görbe egyenlete:

$x=t-\tanh (t)$

$y=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{(}\mathrm{t}\mathrm{)}$

ahol t a szög, sech pedig a szekánshiperbolikus (1/cosh(x)) függvény.

Deriváltja:

Mivel $r(s)=({\sinh }^{-1}(s),\cosh ({\sinh }^{-1}(s)))$ írhatjuk, hogy $r^{\prime }(s)=(1,s)/\sqrt{1+s^2}$ és

$r(t)-t{r}^{\prime }(t)=({\sinh }^{-1}(t)-t/\sqrt{1+t^2},1/\sqrt{1+t^2})$

behelyettesítve $t=\sqrt{1-y^2}/y$ kifejezést: $({\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^{-1}(y)-\sqrt{1-y^2},y)$

Ciklois evolvense

A ciklois egyik evolvense egy kongruens ciklois. Derékszögű koordinátákat alkalmazva a görbe egyenletrendszere:

$x=a(t+\sin (t))$

$y=a(3+\cos (t))$

ahol t a szög és a sugár.

Evolúta

Egy síkgörbe görbületi középpontjainak mértani helyét a görbe evolútájának nevezik. Ez egyben a görbe normálisainak burkológörbéje is. Ha a ${\mathrm{\Gamma }}_2$ görbe a ${\mathrm{\Gamma }}_1$ görbének evolútája, akkor ${\mathrm{\Gamma }}_1$ a ${\mathrm{\Gamma }}_2$ görbének evolvense. Adott evolútához végtelen sok görbéből álló evolvenssereg tartozik, ezek a lefejtő fonál eredeti hosszában különböznek egymástól. Adott alapkörhöz tartozó körevolvensek egybevágóak.

Kapcsolódó szócikkek

• Fogaskerék

Külső hivatkozások

• Mathworld