Differenciálgép

Charles Babbage differenciálgépének részlete, amit halála után a fia állított össze a Babbage laboratóriumában talált részekből

A differenciálgép (difference engine) olyan mechanikus számológép, amely képes polinomfüggvények táblázatait kiszámolni. Mivel számos bonyolultabb függvény, többek között a logaritmus és a trigonometrikus függvények is közelíthetőek hatványsorral, egy ilyen gép sokoldalú számításokra képes.

Története

Babbage gépének a Science Museum által készített másolata.

Az első ilyen tervet Johann Müller készítette 1786-ban, de nem építette meg a gépet. Az ötlet feledésbe merült, és Charles Babbage fedezte fel újra 1822-ben, a Royal Astronomical Society-hez írt „Note on the application of machinery to the computation of very big mathematical tables.” („a nagyon nagy matematikai táblázatok gép általi kiszámításáról”) című cikkében. A gép tízes számrendszert használt, és egy kar tekerésével lehetett működtetni. Babbage az angol kormány anyagi támogatásával elkezdte építeni a gépet, de hamarosan áttért egy sokkal általánosabb analitikus gép tervezésére. Később, 1847–49 között elkészítette egy fejlettebbb differenciálgép, a „Difference Engine No. 2” terveit. Ezekre alapozva 1855 után Per Georg Scheutz, majd Martin Wiberg épített differenciálgépet.

1991-re, Babbage születésének kétszázadik évfordulójára a londoni Science Museum Babbage tervei alapján elkészítette a Difference Engine No. 2 korhű mását, korabeli gyártási technológia felhasználásával. 2000-ben rekonstruálták a Babbage által a géphez tervezett nyomtatót is. Néhány apróbb hibát ki kellett javítaniuk Babbage terveiben, de ezután a gépek tökéletesen működtek, és működnek ma is. Ezzel eldőlt a hosszú ideje tartó vita, hogy lehetséges lett volna-e Babbage tervei alapján működőképes gépet készíteni a korabeli technológiával elérhető pontosság mellett.

Működése

Közelkép a Science Museum-beli gép oszlopairól

A differenciálgép egy sor oszlopból áll, minden oszlop egy tízes számrendszerbeli számot tud tárolni. A gép egyetlen műveletre képes, egy oszlop értékének az előző oszlopéhoz való hozzáadására. Az utolsó oszlop csak egy konstanst tud tárolni, az első oszlop jelzi (vagy nyomtatja) ki az eredményt.

A gép programozása az egyes oszlopok kezdeti értékeinek beállításából áll. Az első oszlopba a polinom egy adott helyen felvett értéket kellett állítani, a továbbiakban a deriváltak értékeit. Ezután a gépet meghajtva az oszlopok forogni kezdenek, és az oszlopok értéke négy fázisban (egy a páratlan, egy a páros oszlopoknak, azon belül pedig egy az összeadásnak, egy az átvitelnek) hozzáadódnak az előttük lévőhöz.

Matematikai háttér

Mivel a gép nem tud szorozni, nem képes kiszámolni egy polinom értékét. Ha azonban egy adott érték (a deriváltakkal együtt) már rendelkezésre áll, a Newton-módszer alkalmazásával közelítően ki tudja számolni a függvény értékét más helyeken: ha a táblázatot $h$ beosztással kell elkészíteni, legyen

${\mathrm{\Delta }}_{h}f(a)=f(a+h)-f(a)$,

ekkor

$f(a+h)=f(a)+{\mathrm{\Delta }}_{h}f(a)$.

${\mathrm{\Delta }}_{h}f$-re is alkalmazhatjuk ugyanezt az eljárást:

${\mathrm{\Delta }}_h^{2}f(a)={\mathrm{\Delta }}_{h}f(a+h)-{\mathrm{\Delta }}_{h}f(a)=[f(a+2h)-f(a+h)]-[f(a+h)-f(a)]$,

és

${\mathrm{\Delta }}_{h}f(a+h)={\mathrm{\Delta }}_{h}f(a)+{\mathrm{\Delta }}_h^{2}f(a)$,

amiből

$f(a+2h)=f(a)+{\mathrm{\Delta }}_{h}f(a)+{\mathrm{\Delta }}_{h}f(a+h)=f(a)+{\mathrm{\Delta }}_{h}f(a)+({\mathrm{\Delta }}_{h}f(a)+{\mathrm{\Delta }}_h^{2}f(a))$.

A különbségeket $f$-nek $n$ különböző értéke alapján $n$ szintig kiszámolva ${\mathrm{\Delta }}_h^n$-t vehetjük a-tól független konstansnak, és így közelíthetjük $f(a+kh)$ értékét tetszőleges $k$-ra; a differenciálgép éppen ezt teszi, az $i$-edik tengelyt ${\mathrm{\Delta }}_h^i$-nek megfeleltetve. (Mai fogalmakkal azt mondhatjuk, hogy a gép Taylor-sorának első $n$ tagjával közelíti a függvényt.)

Példa

Vegyük a $p(x)=2x^2-3x+2$ másodfokú polinomot. A $p(0)$, $p(1)$, $p(2)$ értékeket kézzel kiszámítva, majd ezekből a differenciákat és azokból a további függvényértékeket kifejezve az alábbi eredményt kapjuk:

$p(0)=2.0$ *
	$\mathrm{\Delta }p(0)=1.72-2.0=-0.28$ **
$p(0.1)=1.72$ *		${\mathrm{\Delta }}^{2}p(0)=0.24-0.28=0.04$ **
	$\mathrm{\Delta }p(0.1)=1.48-1.72=-0.24$ **
$p(0.2)=1.48$ *		$0.04$ ***
	$-0.24+0.04=-0.20$ ****
$p(0.3)=1.48-0.20=1.28$ ****		$0.04$ ***
	$-0.20+0.04=-0.16$ ****
$p(0.4)=1.28-0.16=1.12$ ****

* Kézzel kiszámított érték

** A két balra fent és a balra lent található elem különbsége

*** A fölötte levő elemmel azonos

**** A fölötte és a tőle jobbra fel található elem összege

Mivel a másodfokú függvény második deriváltja konstans, itt nem keletkezett közelítési hiba azzal, hogy ${\mathrm{\Delta }}^{2}p$-t állandónak vettük.

Lásd még

• A gépezet (Bruce Sterling és William Gibson regénye Babbage gépéről)

További információk

• Részletes ismertető a gép működéséről
• A Science Museum oldala a gépről
• Differenciálgép legóból