Dimenziótétel

A dimenziótétel vagy nullitás–rang tétel a lineáris algebrában alapvetően a véges dimenziós terek között ható leképezések magterének és képterének komplementer jellegére mutat rá. Ha φ lineáris leképezés egy n dimenziós térből valamely másikba hat, Ker φ = { v | φv = 0 } a φ magtere és Im φ a leképezés értékkészlete, mint altér, akkor

dim Ker φ + dim Im φ = n

Ugyanazon terek között ható két leképezés közül, amelyik magtérdimenziója nagyobb, annak a képtérdimenziója kisebb.

A tétel a dimenziók szerepeltetése nélkül tovább általánosítható nem feltétlenül véges dimenziós V₁ térre is, a következő formában:

Ker φ ⊕ Im φ ≅ V₁

A tétel kapcsolatban van az első izomorfizmustétellel és az Abel-csoportok közötti morfizmusok dekompozíciós tételével.

Dimenziótétel

Ha V₁ véges dimenziós, V₂ pedig tetszőleges lineáris tér, továbbá φ:V₁ $\to$ V₂ lineáris leképezés, akkor

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi +\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{I}\mathrm{m}\phi =\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{V}_1$

Bizonyítás

Legyen dim V₁ = n, dim Ker φ = k ≤ n és legyen Ker φ egy bázisa:

$\{{𝐛}_1,\dots ,{𝐛}_k\}$

Mivel ez lineárisan független vektorrendszer V₁-ben, ezért vannak

${𝐜}_1,\dots ,{𝐜}_m(m=n-k)$

vektorok, melyekkel

$\{{𝐛}_1,\dots ,{𝐛}_k,{𝐜}_1,\dots ,{𝐜}_m\}$

V₁ bázisa.

Belátjuk, hogy a c_j-k képvektoraiból álló

$F=\{\phi ({𝐜}_1),\dots ,\phi ({𝐜}_m)\}$

vektorrendszer Im φ bázisát alkotja. Ezután már készen vagyunk, mert f elemszáma így m lesz és kapjuk: dim Im φ = m = n - k = dim V₁ - dim Ker φ.

(1) F generálja Im φ-t. Legyen ugyanis φ(v) tetszőleges Im φ-beli vektor alkalmas v ∈ V₁-vel. Ekkor v-hez egyértelműen léteznek a λ_i, μ_j skalárok, hogy:

$𝐯={\lambda }_1{𝐛}_1+\dots +{\lambda }_n{𝐛}_k+{\mu }_1{𝐜}_1+\dots +{\mu }_m{𝐜}_m$

ezért

$\phi (𝐯)=\phi ({\lambda }_1{𝐛}_1+\dots +{\lambda }_k{𝐛}_k+{\mu }_1{𝐜}_1+\dots +{\mu }_m{𝐜}_m)=$

$={\lambda }_1\phi ({𝐛}_1)+\dots +{\lambda }_k\phi ({𝐛}_k)+{\mu }_1\phi ({𝐜}_1)+\dots +{\mu }_m\phi ({𝐜}_m)=$

$=\mathrm{𝟎}+{\mu }_1\phi ({𝐜}_1)+\dots +{\mu }_m\phi ({𝐜}_m)$

azaz φ(v) már az F-beli vektorok lineáris kombinációjaként is előáll. Az előbb felhasználtuk, hogy a b_i vektorok képe mind 0.

(2) F lineárisan független. Tegyük fel, hogy F elemei előállítják a 0 vektort alkalmas skalárokkal. Ekkor

$\mathrm{𝟎}={\mu }_1\phi ({𝐜}_1)+\dots +{\mu }_k\phi ({𝐜}_m)=\phi ({\mu }_1{𝐜}_1+\dots +{\mu }_m{𝐜}_m)$

azaz

${\mu }_1{𝐜}_1+\dots +{\mu }_m{𝐜}_m\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$

Eszerint az előbbi vektor a Ker φ báziselemeinek egyértelmű lineáris kombinációjaként is előáll:

${\lambda }_1{𝐛}_1+\dots +{\lambda }_k{𝐛}_k={\mu }_1{𝐜}_1+\dots +{\mu }_m{𝐜}_m$

amiből

$\mathrm{𝟎}={\lambda }_1{𝐛}_1+\dots +{\lambda }_k{𝐛}_k-{\mu }_1{𝐜}_1-\dots -{\mu }_m{𝐜}_m$

de a vektorok függetlenségéből következik, hogy ekkor

$0={\lambda }_1=\dots ={\lambda }_k=-{\mu }_1=\dots =-{\mu }_m$

speciálisan

${\mu }_1=\dots ={\mu }_m=0$.

Megjegyzés

A bizonyításból az is következik, hogy

1. Ker φ és a c_j-k generálta altér direkt összegként állítják elő V₁-et:

   $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \oplus ⟨{𝐜}_1,\dots ,{𝐜}_m⟩=V_1$

2. φ a c_j-k generálta altérre leszűkítve az Im φ-be képező lineáris izomorfizmus.

Emiatt pedig V₁ a mag- és a képtér direkt összegével izomorf:

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \oplus \mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cong V_1$

Direktösszeg-felbontás

Az univerzális algebra terminusaiban érvényes, hogy

$\{0\}\stackrel{\mathrm{i}\mathrm{d}}{⟶}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \stackrel{f=\mathrm{i}\mathrm{d}}{⟶}{V}_1\stackrel{g=\phi }{⟶}\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \stackrel{0}{⟶}\{0\}$

egy rövid egzakt sorozat, azaz Im f = Ker g, hisz mindkettő a Ker φ.

Emiatt az Abel-csoportokra vonatkozó kategóriaelméleti dekompozíciós lemma gondolatmenetével is előállíthatjuk a direkt összeget.

Legyen Im φ egy bázisa

$\{\phi (𝐜){\}}_{𝐜\in C}$

alkalmas c ∈ C ⊆ V₁ vektorokkal. Ekkor C lineárisan független vektorrendszer, mert ha összefüggő volna, akkor a képe is összefüggő volna, ami viszont Im φ bázisa, tehát nem lehet összefüggő. Ez azt jelenti, hogy a

$(\phi (𝐜){)}_{𝐜\in C}$

függvény lineáris izomorfizmus definiál a C által kifeszített altéren. Ebben az esetben is

$V_1=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \oplus ⟨C⟩$

és

$V_1\cong \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \oplus \mathrm{I}\mathrm{m}\phi$

Példa

1. Egy A mátrix esetén a v $\mapsto$ Av lineáris leképezés. Ennek a leképezésnek a magját az A mátrix magjának nevezzük.

Az

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\end{array}\right]$

magja nem más, mint egy R³ egy origón áthaladó síkja:

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A=\{(x,y,z)\mid 2x+y-z=0\}$

A dimenziótétel segíthet abban, hogy megállapítsuk, hogy a sík valóban kétdimenziós. Világos, hogy Im A = rang A = 1, mert egyetlen sorból álló mátrixról van szó, így dim Ker A = 3 - 1 =2.

2. A dimenziótétel végtelen dimenziós terekre is igaz. Ekkor persze ugyanazok a paradoxonok lépnek fel, mint a számosságaritmetikában.

A T testbeli értékű sorozatok T^ω terében az

$(a_0,a_1,...,a_n,...)\stackrel{\lambda }{\mapsto }(a_0,a_2,...,a_{2n},...)$

leképezés lineáris,

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\lambda =\{(0,a_1,0,a_3,...)\mid a_1,a_3,...\in T\},\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\lambda ={\mathrm{\aleph }}_0$

$\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda =T^{\omega },\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda ={\mathrm{\aleph }}_0$

így a dimenziótétel formulája átmegy az

${\mathrm{\aleph }}_0+{\mathrm{\aleph }}_0={\mathrm{\aleph }}_0$

egyenlőségbe.

Bár Im λ az egész tér mégis λ (a végesdimenziósokkal ellentétben) nem injektív, mivel Ker λ ≠ {0}.

Források

• Freud Róbert, Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1998.
• Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra, Chelsea, 1999. Sablon:ISBN

További információk

• PlanetMath: Rank–nullity theorem Sablon:Wayback