Faktorizáció

Az Sablon:Nowrap polinom, ahol a + b = c és ab = d felbontható Sablon:Nowrap

A faktorizáció azt a folyamatot jelöli, amely során egy objektumot (például egész számok faktorizációja, polinomok faktorizációja, mátrixok faktorizációja) nála valamilyen szempontból „kisebb” elemek szorzatára bontunk. Például a 15 természetes szám faktorizációja a természetes számok feletti prímelemek szorzatára: Sablon:Nowrap, míg az Sablon:Nowrap polinom faktorizációja az egész számok fölötti polinomgyűrűben: Sablon:Nowrap.

A faktorizálás célja az, hogy valamit nála kisebb „elemi építőelemek” szorzatára felbontsunk. Például egész számok esetében prímszámokra, polinomok esetén irreducibilis polinomokra.

A polinomfaktorizáció ellentéte a kibontás vagy beszorzás, amikor az azt alkotó polinomok összeszorzását elvégezzük.

A nagy számok prímfelbontása nehéz probléma, így ezt a tulajdonságot alkalmazzák bizonyos titkosításokban, például az RSA-ban.

Egész számok

Sablon:Main A számelmélet alaptételének megfelelően, minden 1-nél nagyobb egész szám egyértelműen felírható prímek szorzataként. A prímfelbontási algoritmus az 1-nél nagyobb egész számnak megadja a prímosztóit. Nagy számokra nem ismert hatékony prímfelbontó algoritmus.

Polinomok

Másodfokú polinomok

Bármely másodfokú komplex együtthatós polinom felírható elsőfokú komplex együtthatós polinomok és egy konstans szorzatára, a következőképpen:

$\begin{array}{cc}a{x}^2+bx+c& =a(x-\alpha )(x-\beta )\\ & =a(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}),\end{array}$

ahol $\alpha$ és $\beta$ a polinom két gyöke. A másodfokú polinom gyökeit a másodfokú egyenlet megoldóképletével találhatjuk meg.

Az egész számok fölött faktorizálható másodfokú polinomok

Bizonyos másodfokú polinomok felbonthatóak az egész számok teste fölötti elsőfokú polinomok és egy konstans szorzatára.

Teljes négyzetek

Az (a + b)² = a² + 2ab + b² azonosság grafikus megjelenítése

Teljes négyzetnek azokat a polinomokat nevezzük, amelyek felírhatóak egy elsőfokú polinom négyzeteként. Ha egy polinom teljes négyzet, akkor a következőképpen faktorizálható:

$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2,$

vagy

$a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2.$

Négyzetek összege, különbsége

Egy másik nagyon hasznos azonosság a négyzetek különbsége:

$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$

Ha a négyzetek nem kivonva, hanem összeadva vannak, akkor $b$ helyett helyettesítsünk $ib$-t a fenti formulába, és így kaphatjuk a következő azonosságot:

$a^2+b^2=a^2-(-b^2)=a^2-(i^2{b}^2)=a^2-(ib{)}^2=(a+bi)(a-bi).$

$4x^2+49$ faktorizációja például $(2x+7i)(2x-7i)$.

Egyéb polinomok faktorizációja

Két köb összege/különbsége

Két köb faktorizációjának grafikus megjelenítése, térfogatok segítségével

Egy ismert formula köbök összegére a következő:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$

a különbségükre pedig:

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$

Két negyedik hatvány különbsége

Szintén ismert formula két negyedik hatvány különbségének kifejezésére:

$a^4-b^4=(a^2+b^2)(a+b)(a-b).$

Ez a formula levezethető a két négyzet különbségére vonatkozó formulából az a⁴-t és a b⁴-t a² és b² négyzeteként kezelve.

Két ötödik hatvány összege/különbsége

Szintén ismertek a következő formulák:

$a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^{3}b+a^2{b}^2-a{b}^3+b^4),$

a különbségre pedig:

$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4).$

(További faktorizáció is lehetséges, de ekkor az együtthatók megszűnnek egészeknek lenni.)

Két n-edik hatvány összege/különbsége

A fenti különbségre vonatkozó formulákat ki lehet terjeszteni általános hatványra is a geometriai sorozat első n elemének összegére való formulával. Mivel

$x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +x+1=\frac{x^n-1}{x-1},$

így (x − 1)-el szorozva az egyenlet mindkét oldalát, megkapjuk az általános formula egy formáját. Az általánosan elterjedt formához helyettesítsünk x helyett a/b-t, és mindkét oldalt szorozzuk meg bⁿ-nel. Így kapjuk, hogy:

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+b{a}^{n-2}+b^2{a}^{n-3}+\dots +b^{n-2}a+b^{n-1}).$

Az ehhez tartozó összegre vonatkozó képlet attól függ, hogy n páros vagy páratlan. Ha n páratlan, akkor b-t −b-re cserélve a fenti formulában, azt kapjuk, hogy:

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-b{a}^{n-2}+b^2{a}^{n-3}-\dots -b^{n-2}a+b^{n-1}).$

Ha n páros, akkor két eset lehetséges:

• Ha n 2 hatványa, akkor

$a^n+b^n$ felbonthatatlan a valós számok körében.

• Különben legyen

$n=m\cdot 2^k,m>1,k\ne 0$, ahol m páratlan.

Ekkor a kifejezés a következő alakot ölti: $a^{m\cdot 2^k}+b^{m\cdot 2^k}.$

Így az általános formula:

$a^n+b^n=(a^{2^k}+b^{2^k})(a^{n-2^k}-a^{n-2\cdot 2^k}{b}^{2^k}+a^{n-3\cdot 2^k}{b}^{2\cdot 2^k}-\dots -a^{2^k}{b}^{n-2\cdot 2^k}+b^{n-2^k})=(a^{2^k}+b^{2^k})\sum _{i=1}^m{a}^{(m-i)2^k}(-b^{2^k}{)}^{i-1}.$

Sophie Germain-féle azonosság

A Sophie Germain-féle azonosság alapján

$a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2).$

A levezetése a következő:

$\begin{array}{cc}{a}^4+4b^4& =(a^2{)}^2+(2b^2{)}^2\\ & =(a^2{)}^2+2(a^2)(2b^2)+(2b^2{)}^2-2(a^2)(2b^2)\\ & =(a^2+2b^2{)}^2-(2ab{)}^2\\ & =(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2).\\ \end{array}$

Egyéb faktorizációs formulák

$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)& =(x+y+z{)}^2\\ x^3+y^3+z^3-3xyz& =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\\ x^4+x^2{y}^2+y^4& =(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)\\ \end{array}$

További információk

• One hundred million numbers factored on html pages.
• A page about factorization, Algebra, Factoring
• WIMS Factoris
• Wolfram Alpha can factorize too.