Cauchy-féle integráltétel

A Cauchy-féle integráltétel (vagy másként a komplex analízis főtétele) a komplex analízis alapvető jelentőségű tétele. Azt mondja ki, hogy egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett komplex deriválható függvény zárt görbe mentén vett integrálja 0.

A tétel állítása

Legyen $f:U\to ℂ$ nyílt halmazon értelmezett komplex differenciálható függvény, $T\subseteq U$ egyszeresen összefüggő zárt és korlátos halmaz és legyen $\gamma$ olyan rektifikálható zárt görbe, mely $T$ határát paraméterezi. Ekkor

$\underset{\gamma }{\oint }f(z)dz=0.$

A tételt először Cauchy bizonyította abban a formában, hogy feltette, $f$ parciális deriváltjai folytonosak. Később Goursat igazolta, hogy ez a feltétel elhagyható. Goursat eredménye azért volt áttörés a komplex analízis történetében, mert kiderült, hogy a fenti tétel segítségével igazolható, hogy minden nyílt halmazon komplex differenciálható függvény deriváltja folytonos, sőt minden ilyen függvény analitikus, azaz végtelenszer differenciálható és Taylor-sora előállítja magát a függvényt. A nyílt halmazon komplex differenciálható függvények elméletében tehát elegendő a végtelen helyett egyetlen differenciálhatósági osztállyal foglalkozni.

Példa és ellenpélda

Ha egy komplex függvénynek van primitív függvénye, akkor a Newton–Leibniz-tétel miatt ennek minden zárt görbére vett integrálja nulla. Például

$f(z)=\frac{1}{z^2}$

Primitív függvénye

$F(z)=-\frac{1}{z}$

tehát minden a 0-t fel nem vevő $\gamma :[a,b]\to ℂ$ görbére:

$\underset{\gamma }{\int }\frac{1}{z^2}\mathrm{d}z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=0$

hiszen $\gamma (a)=\gamma (b)$.

A Cauchy-tétel azt mondja, hogy a körintegrál nulla volta akkor is bekövetkezhet, ha nincs feltétlenül a komplex függvénynek primitív függvénye, de reguláris és egyszeresen összefüggő tartományt hurkol körül a zárt görbe. Az

$f(z)=\frac{1}{z}$

függvénynek nincs globális primitív függvénye (hisz a logaritmus lenne az, ami a komplexeken nem egyértékű), ám reguláris és ha a nullát körül nem hurkoló görbére vesszük az integrálját, akkor az Cauchy tétele szerint nulla lesz. Például

$\underset{|z-2i|=1}{\int }\frac{1}{z}\mathrm{d}z=0,$

mert itt a görbe a $2i$ középpontú, egységsugarú körív, míg

$\underset{|z|=1}{\int }\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\mathrm{l}\mathrm{n}(e^{2\pi i})-\mathrm{l}\mathrm{n}(e^0)=2\pi i\ne 0,$

ahol $e^0$ és $e^{2\pi i}$ ugyanannak a pontnak a logaritmus egymást követő két Riemann-levelén paraméterezett alakja.

Hivatkozások

• Járai Antal, Modern alkalmazott analízis, Typotex Kiadó, 2007, Sablon:ISBN, ISSN 1788-1811
• Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I-II. Typotex Kiadó, 2003. Sablon:ISBN, Sablon:ISBN