Bipoláris hengerkoordináta-rendszer

A bipoláris hengerkoordináta-rendszer koordinátafelületei. A sárga félhold megfelel σ-nak, míg a piros cső a τ koordinátát jelzi, a kék sík pedig a z=1 megfelelője. A három felület a P pontban találkozik, melyet fekete gömb jelez

A bipoláris hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, ami a bipoláris koordináta-rendszerből származtatható a harmadik, z tengely menti eltolással. Az $F_1$ és $F_2$ fókuszegyenesekre teljesül a Descartes-féle koordináta-rendszerben, hogy rendre $x=-a$ és $x=+a$, illetve $y=0$.

Bipolárisnak neveznek olyan görbéket is, melyeknek két fókuszpontjuk van, mint ellipszisek, hiperbolák és Cassini-oválisok. Azonban nem nevezik bipolárisnak az ezeken az alakzatokon alapuló koordináta-rendszereket, mint például az elliptikus koordinátákat.

Alapvető definíciók

A $(\sigma ,\tau ,z)$ bipoláris hengerkoordináták leggyakoribb definíciója:

$x=a\frac{\mathrm{sh}\tau }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }$

$y=a\frac{\sin \sigma }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }$

$z=z$

ahol egy $P$ pont $\sigma$ koordinátája egyenlő a $F_{1}P{F}_2$ szöggel, és a $\tau$ koordináta a $P$ pont fókuszoktól mért távolságainak arányának természetes logaritmusa. A továbbiakban a $P{F}_1$ távolságot $d_1$, míg a $P{F}_2$ távolságot $d_2$ jelöli. Ezzel a $\tau$ koordináta:

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}$

Skálázási tényezők

A $\sigma$ és $\tau$ bipoláris koordináták skálázási tényezője megegyezik:

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\frac{a}{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }$

illetve a $z$ koordináta skálázási tényezője $h_z=1$. Így az infinitezimális térfogatelem

$dV=\frac{a^2}{{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )}^2}d\sigma d\tau dz$

és a Laplace-operátor:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2}{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^2(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\tau }^2})+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Alkalmazások

A bipoláris hengerkoordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai a parciális differenciálegyenletek megoldását segítik, például Laplace egyenletének vagy a Heimholtz-egyenlet, ahol is a bipoláris koordináták lehetővé teszik a változók szétválasztását két dimenzióban. Egy példa a két, különböző átmérőjű hengeres elektromos vezető elektromos mezője.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• MathWorld description of bipolar cylindrical coordinates