Van Hove-szingularitás forrásának megtekintése

{{Nanotechnológia navoszlop|kép=SSPN41.PNG}}

A [[Szilárdtestfizika|szilárdtestfizikában]] a '''van Hove-szingularitás''' egy szilárdtest [[állapotsűrűség]]ének olyan anomális pontja, mely bizonyos esetekben [[Matematikai szingularitás|szinguláris pont]] is lehet, mely esetben az állapotsűrűség divergálhat. Gyakran [[kvantumbezárás]] következtében lép fel, mely például a nanoszerkezetek esetén jellemző jelenség. Az állapotsűrűség szingularitásainak fontos szerepe van például a szilárd anyagok karakterisztikus optikai átmenetek, vagy gerjesztési jelenségeinek leírásakor.

Kritikus pontoknak nevezik a [[Brillouin-zóna]] azon pontjait (illetve az ezen pontokat megadó hullámszámvektorokat), melyekben ilyen szingularitása van az állapotsűrűségnek.

Nevét a [[Belgium|belga]] fizikus [[Léon Van Hove]]-ról kapta, aki 1953-ban hívta fel a figyelmet arra, hogy a [[fonon]]ok állapotsűrűségében szinguláris pontok alakulhatnak ki.{{H|Van Hove|1953}}

== Fizikai jellemzése ==

=== Fonon-állapotsűrűség ===
{{Bővebben|Állapotsűrűség}}

A fonon-állapotsűrűségben kialakuló van Hove-szingularitások elméleti kimutatása során az egyszerűség kedvéért egydimenziós rács rezgéseiből érdemes kiindulni. Ha <math>N</math> darab atom egydimenziós láncát tekintjük, melyben a szomszédos atomok között nyugalmi helyzetben egyenlő <math>a</math> távolság van, akkor a lánc teljes hossza <math>L = Na</math>. A láncon terjedő rezgések számára periodikus határfeltételt célszerű szabni:<ref>Lásd 2.9-es összefüggést itt: http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/BandMT_02.pdf, ahol <math>\phi(x+L)=\phi(x)</math> periodikus potenciálból <math>kL=2n\pi</math> következik</ref>

<math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=n\frac{2\pi}{L}</math>,

ahol <math>\lambda</math> a [[hullámhossz]], <math>n</math> pedig egész szám, melynek pozitív értékei tartoznak az előrefelé, negatív értékei a visszafelé terjedő hullámmegoldásokhoz. A legrövidebb hullámhossz <math>2a</math>, melyből a fogalmak definíciói szerint kifejezhető a legnagyobb [[hullámszám]]: <math>k_{max}=\pi/a</math>, illetve a legnagyobb <math>n_{max}=L/2a</math>. A rácsrezgéseket reprezentáló fononok állapotsűrűségét (egy adott <math>[k;k+dk]</math>hullámszámtartományban található állapotok számát) az alábbiak szerint adhatjuk meg:

<math>g(k)dk = dn  =\frac{L}{2\pi}\,dk</math>.

Három dimenzióban az alábbi eredményre jutottunk volna:

<math>g(\vec{k})d^3k = d^3n  =\frac{L^3}{(2\pi)^3}\,d^3k</math>,

ahol <math>d^3k</math> a hullámszámtérbeli térfogatelem, melyben az állapotokat összegezzük. A hullámszámok energiafüggésének (azaz a [[diszperziós reláció]]nak) ismeretében, és a

<math>dE = 
\frac{\partial E}{\partial k_x}dk_x +
\frac{\partial E}{\partial k_y}dk_y +
\frac{\partial E}{\partial k_z}dk_z =
\vec{\nabla}E \cdot d\vec{k}</math>

[[láncszabály]] felhasználásával (itt <math>\vec{\nabla}</math> a hullámszámtérbeli [[Gradiens|gradients]] jelenti) az energiafüggő állapotsűrűség megadható :

<math>g(E)dE = \iint_{\partial E}g(\vec{k})\,d^3k = \frac{L^3}{(2\pi)^3}\iint_{\partial E}dk_x\,dk_y\,dk_z</math>, 
[[Fájl:NewvanHove.png|bélyegkép|Szimulált példa egy háromdimenziós szilárdtest állapotsűrűségének van Hove-szingularitásaira. A kritikus pontokat nyíl jelzi]]

ahol az integrálást az ekvienergiás <math>\partial E</math> felületek mentén kell elvégezni. Az adott E energiához tartozó, hullámszámtérbeli pontok a k-térben felületet alkotnak, melyre E gradiensvektora minden pontban merőleges.<ref>{{cite book|first=John|last=Ziman|authorlink=John Ziman|year=1972|title=Principles of the Theory of Solids|publisher=Cambridge University Press|id=ISBN B0000EG9UB}}</ref> Választható a hullámszámtérben egy új <math>k'_x,k'_y,k'_z\,</math> [[koordináta-rendszer]] úgy, hogy <math>k'_z\,</math> épp merőleges legyen a felületre, így <math>\vec{\nabla}E</math> irányába essen. Ha ezt az új koordináta-rendszert csupán elforgatással fedésbe lehet hozni <math>k_x,k_y,k_z\,</math>-vel, akkor a tárfogatelem azonos lesz: <math>dk'_x\,dk'_y\,dk'_z = dk_x\,dk_y\,dk_z</math>, így <math>dE=|\vec{\nabla}E|\,dk'_z</math> adódik, mellyel az energiafüggő állapotsűrűség:

<math>g(E)=\frac{L^3}{(2\pi)^3}\iint\frac{dk'_x\,dk'_y}{|\vec{\nabla}E|}</math>,

ahol <math>dk'_x\,dk'_y</math> az ekvienergiás felület egy felületeleme.

=== A diszperziós reláció hatása az állapotsűrűségre ===
A fononok <math>g(E)</math> állapotsűrűségének fenti kifejezéséből az következik, hogy ahol az <math>E(\vec{k})</math> diszperziós relációnak [[extrémum]]a (azaz [[szélsőérték]]e, vagy [[Inflexiós pont|inflexiója]]) van, ott a <math>g(E)</math> állapotsűrűség anomális lesz. Ezen <math>k</math> hullámszámokon tehát van Hove-szingularitások jelennek meg.

További számolással kimutatható,<ref>* {{cite book|last=Bassani|first=F.|author2=Pastori Parravicini, G.|title=Electronic States and Optical Transitions in Solids|publisher=Pergamon Press|year=1975|isbn=0-08-016846-9}}</ref> hogy a van Hove-szingularitás jellegét megszabja, hogy az adott <math>k</math> hullámszámon a diszperziós relációnak lokális minimuma, lokális maximuma, illetve nyeregpontja van-e. Ezen kívül egyes dimenziókban a szingularitás jellege az alábbiak szerint különbözik:<ref>{{Cite web|url=http://butler.cc.tut.fi/~trantala/opetus/files/SP2-72123.SemiconductorPhysics.II/SP2-03.ss025-034.pdf|title=6.2.4. Van Hove Singularities|accessdate=2017-12-06|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190713185928/http://butler.cc.tut.fi/~trantala/opetus/files/SP2-72123.SemiconductorPhysics.II/SP2-03.ss025-034.pdf|archivedate=2019-07-13}} A szingularitás jellegének függése a dimenziótól és a diszperziós reláció extrémumának típusától.</ref>
* Háromdimenziós esetben <math>g(E)</math> állapotsűrűség nem divergál, viszont a deriváltja igen, tehát <math>g(E)</math>-nek törései lesznek.
* Kétdimenziós esetben <math>g(E)</math> logaritmikusan divergál (azaz igen lassan, de a végtelenbe tart)<ref>{{Cite web|url=https://physics.stackexchange.com/questions/291816/what-is-a-logarithmic-divergence|title=What is a logarithmic divergence?|accessdate=2017-12-06|work=physics.stackexchange.com}}</ref>
* Egydimenziós esetben pedig magának a <math>g(E)</math> állapotsűrűségnek is szakadása van, ahol <math>\vec{\nabla}E</math> értéke nulla.

== Kísérleti megfigyelése ==
Egy szilárdtest optikai abszorpciós spektruma a sávszerkezetből származtatható a [[Fermi-féle aranyszabály]] alkalmazásával. Az aranyszabályban szereplő állapotsűrűség a vezetési és vegyértéksávok együttes sűrűségfüggvénye, azaz azon állapotok száma, melyek között adott energiakülönbség áll fenn. Olyan anyagok esetén, melyeknek állapotsűrűségében van Hove-szingularitások vannak, anomális spektroszkópiai jellemzőkre, például bizonyos energiákon kiugró átmenetekre lehet számítani.

Egyes alacsony dimenziós [[nanoszerkezet]]ek (például nanoszalagok, nanopálcák, nanocsövek) optikai vizsgálata segít feltárni az állapotsűrűség szingularitásait, mellyel szerkezeti és elektronszerkezeti információk nyerhetők az anyagról.<ref>{{cite journal|last=Brihuega et al.|first=I.|date=2012-11-08|title=Unraveling the Intrinsic and Robust Nature of van Hove Singularities in Twisted Bilayer Graphene by Scanning Tunneling Microscopy and Theoretical Analysis|journal=[[Physical Review Letters]]|publisher=[[Amerikai Fizikai Társaság]]|volume=109|issue=19|doi=10.1103/physrevlett.109.196802|issn=0031-9007}}</ref>

== Jegyzetek ==
{{Reflist|2}}

== Fordítás ==
{{Fordítás|en|Van Hove singularity|oldid=807153257}}

== Források ==

=== Szakkönyvek ===
* {{cite book|last=Bassani|first=F.|author2=Pastori Parravicini, G.|title=Electronic States and Optical Transitions in Solids|publisher=Pergamon Press|year=1975|isbn=0-08-016846-9}}
* {{Href|Kittel|1981|{{CitLib|szerző= Charles Kittel |cím= Bevezetés a szilárdtest-fizikába |hely= Budapest |kiadó= Műszaki Könyvkiadó |év= 1981}}}}
* {{CitLib|szerző=Thomas Ihn|cím=Semiconductor Nanostructures|alcím=Quantum states and electronic transport|hely=Oxford|kiadó=Oxford University Press|év=2009|isbn=9780199534432}}
* {{href|Sólyom|2010|{{CitLib|szerző= [[Sólyom Jenő (fizikus)|Sólyom Jenő]] |cím= A modern szilárdtest-fizika alapjai II. |alcím=  Fémek, félvezetők, szupravezetők |hely= Budapest |kiadó= ELTE Eötvös Kiadó |év= 2010 |isbn=9789633120286}}}}
* {{cite book|title=Nanoparticles|chapter=Size Effects on Semiconductor Nanoparticles|publisher=Springer Berlin Heidelberg|publication-place=Berlin, Heidelberg|year=2014|isbn=978-3-662-44822-9|doi=10.1007/978-3-662-44823-6_2|subtitle=|author=Rolf Koole et al.}}

=== Tudományos közlemények ===
* {{href|Van Hove|1953|{{cite journal | last=Van Hove | first=Léon | title=The Occurrence of Singularities in the Elastic Frequency Distribution of a Crystal | journal=[[Physical Review]] | publisher=[[Amerikai Fizikai Társaság]] | volume=89 | issue=6 | date=1953-03-15 | issn=0031-899X | doi=10.1103/physrev.89.1189 | pages=1189–1193}}}}
* {{cite journal|last=Piriou|first=A.|date=2011-03-01|title=First direct observation of the Van Hove singularity in the tunnelling spectra of cuprates|journal=Nature Communications|publisher=Springer Nature|volume=2|page=221|doi=10.1038/ncomms1229|issn=2041-1723|last2=Jenkins|first2=N.|last3=Berthod|first3=C.|last4=Maggio-Aprile|first4=I.|last5=Fischer|first5=Ø.|ref=harv}}
* {{cite journal|last=Brihuega et al.|first=I.|date=2012-11-08|title=Unraveling the Intrinsic and Robust Nature of van Hove Singularities in Twisted Bilayer Graphene by Scanning Tunneling Microscopy and Theoretical Analysis|journal=[[Physical Review Letters]]|publisher=[[Amerikai Fizikai Társaság]]|volume=109|issue=19|doi=10.1103/physrevlett.109.196802|issn=0031-9007}}
{{Portál|Fizika}}

[[Kategória:Szilárdtestfizika]]