Véges csoport forrásának megtekintése

A [[csoportelmélet]]ben '''véges csoportnak''' nevezünk egy olyan [[csoport (matematika)|csoportot]], melynek alaphalmaza [[véges halmaz|véges]]. Véges csoportok gyakran állnak elő matematikai vagy fizikai objektumok szimmetriájának vizsgálatakor, amikor ezek az objektumok csak véges számú struktúra-megőrző transzformációt engednek meg. Fontos példái a [[ciklikus csoport]]ok és a [[szimmetrikus csoport]]ok.

A véges csoportok tanulmányozása a csoportelmélet fontos része a 19. századi megjelenése óta. Az egyik legfontosabb részterülete a [[véges egyszerű csoportok osztályozása]], mely 2004-ben fejeződött be arra az esetre, amikor a véges csoportnak nincs nemtriviális [[normálosztó]]ja.<ref>{{cite journal| author=Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D.| title=The classification of quasithin groups. I: Structure of strongly quasithin K-groups|journal=Mathematical Surveys and Monographs|volume=111|publisher=Americal Mathematical Society|year=2004}}</ref><ref>{{cite journal| author=Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D.| title=The classification of quasithin groups. II: Main theorems: the classification of simple QTKE-groups|journal=Mathematical Surveys and Monographs|volume=112|publisher=Americal Mathematical Society|year=2004}}</ref>{{efn|Az osztályozás 2008-ban mindenesetre egy korábbi kisebb hiba miatt tovább bővült.<ref>{{cite journal|title=Finite groups having a standard component L of type M<sub>12</sub>
 or M<sub>22</sub>|author=Harada, Koichiro; Solomon, Ronald|year=2008|journal=Journal of Algebra|volume=319|issue=2|pp=621–628|issn=0021-8693}}</ref>}}

== Példák ==
=== Szimmetrikus és permutációcsoportok ===
[[File:Symmetric group 4; Cayley graph 4,9.svg|thumb|320px|Az <math>S_4</math> szimmetrikus csoport [[Cayley-gráf]]ja.]]
Az <math>S_n</math>-nel jelölt [[szimmetrikus csoport]] <math>n</math> darab szimbólum összes [[permutáció]]ját tartalmazza, a csoportművelet pedig a permutációk kompozíciója, mely tekinthető a szimbólumok között egy [[bijekció|bijektív]] függvényként.<ref>{{Cite book| last=Jacobson| first=Nathan | year=2009| title=Basic Algebra I | edition=2.kiadás | publisher=Dover Publications | isbn = 978-0-486-47189-1 |pp=31}}</ref> Mivel <math>n</math> elemnek <math>n!</math> (<math>n</math> faktoriális) lehetséges permutációja van, az <math>S_n</math> csoport [[rend (matematika)|rendje]] (tehát elemeinek száma) <math>n!</math>.

=== Ciklikus csoportok ===
{{bővebben|Ciklikus csoport}}
A <math>\mathbb{Z}_n</math> ciklikus csoport minden eleme egy adott <math>a</math> elem egész kitevős hatványa, ahol <math>a^n=a^0=e</math> (<math>e</math> itt a csoport [[neutrális elem|egységelem]]e). Az <math>n</math> (véges) elemszámú ciklikus csoportok [[izomorfia|izomorfak]] a komplex egység <math>n</math>-edik [[egységgyök]]einek csoportjához.

=== Véges Abel-csoportok ===
[[Abel-csoport]]nak vagy kommutatív csoportnak hívunk egy olyan csoportot, melyben bármely csoportbeli elempáron végzett csoportművelet eredményén nem változtat a két elem felcserélése. Ezt a tulajdonságot a [[kommutativitás]] axiómájának is hívjuk.

Egy tetszőleges véges Abel-csoport izomorf olyan véges ciklikus csoportok [[direkt összeg]]ével, melyek elemszámai prímszámok egész kitevős hatványai és egyértelműen meghatározottak. A rendek invariánsok rendszerét alkotják, melyek leírják a véges Abel-csoport [[automorfizmuscsoport]]ját. A véges Abel-csoportok elméletének fontos kezdőpontja [[Ferdinand Georg Frobenius]] és [[Ludwig Stickelberger]] 1879-es eredménye, amelyet később leegyszerűsítettek és általánosítottak, ezáltal fontos részét képezve a [[lineáris algebra|lineáris algebrának]].

=== Lie-típusú csoportok ===
A Lie-típusú csoportok nem összetévesztendőek a [[Lie-csoport]]okkal, azonban szoros összefüggés van a két fogalom között. A Lie-csoportok olyan csoportok, melyek egyszerre [[differenciálható sokaság|sima sokaság]]ok és a csoportművelet tetszőlegesen sokszor differenciálható. Egy [[kompaktság|kompakt]] Lie-csoport megfeleltethető a valós számtesten definiált reduktív lineáris algebrai csoport racionális pontjainak. Ha a valós számtestet felcseréljük egy [[véges test]]re, az általa definiált reduktív lineáris algebrai csoport racionális pontjainak csoportja szorosan kapcsolódik a Lie-típusú csoportokhoz. Önmagában a Lie-típusú csoportoknak nincs precíz széles körben elfogadott definíciója,<ref>[https://mathoverflow.net/q/136880 mathoverflow – Definition of “finite group of Lie type”?]</ref> azonban azoknak a véges egyszerű Lie-típusú csoportoknak van, melyek elősegítik a véges egyszerű csoportok osztályozását.

Véges Lie-típusú csoportok adják a nem-Abel véges egyszerű csoportok túlnyomó többségét. Speciális esetei a [[klasszikus csoport]]ok, a [[Chevalley-csoport]]ok, a Steinberg-csoportok és a Suzuki−Ree-csoportok.

== Fontosabb tételek ==
=== Lagrange-tétel ===
A [[Joseph Louis Lagrange]] után elnevezett tétel kimondja, hogy egy adott <math>G</math> véges csoport bármely <math>H</math> [[részcsoport]]jának rendje (tehát az alaphalmaz elemeinek száma) osztója <math>G</math> rendjének. Jelöljük <math>G</math> rendjét <math>|G|</math>-vel, akkor a <math>|G|/|H|</math> természetes számot a <math>H</math> részcsoport [[index (csoportelmélet)|indexének]] hívjuk, jelölése <math>[G:H]</math>. A részcsoport indexe a baloldali [[mellékosztály]]ai számának felel meg.

A tétel következménye, hogy <math>G</math> bármely <math>g</math> elemének rendje (tehát egy olyan <math>n</math> természetes szám, melyre <math>g^n=e</math>, ahol <math>e</math> a csoport [[neutrális elem|egységelem]]e) mindig osztja a csoport rendjét.<ref>https://www.cs.bme.hu/~szeszler/bsz2/csoport.pdf</ref>

=== Sylow-tételek ===
{{bővebben|Csoportelmélet#Sylow-csoportok}}
Legyen <math>p</math> egy prímszám. Egy adott <math>G</math> csoport Sylow <math>p</math>-részcsoportjának hívjuk bármely olyan részcsoportját, mely egy [[p-csoport|<math>p</math>-csoport]], tehát minden elemének rendje <math>p</math> egy hatványa, és nem valódi részcsoportja <math>G</math> bármelyik másik <math>p</math>-részcsoportjának.

A [[Peter Ludwig Sylow]]ról elnevezett tételek rendkívül fontosak a véges csoportok vizsgálatában, ugyanis részletes információt adnak egy fixált rendű véges csoport részcsoportjainak számáról. Tekinthető a Lagrange-tétel részleges megfordításának, mivel kimondja, hogy egy <math>G</math> véges csoport rendjének minden [[prímfelbontás|prímtényezőjére]] létezik egy Sylow <math>p</math>-részcsoportja <math>G</math>-nek. Továbbá, <math>G</math> minden <math>p^n</math> rendű részcsoportja Sylow <math>p</math>-részcsoport, és fixált <math>p</math> prím esetén a csoport Sylow <math>p</math>-részcsoportjai egymás konjugáltjai. Egy csoport Sylow <math>p</math>-részcsoportjainak számát <math>p</math>-vel osztva mindig egy lesz a maradék.<ref>{{Cite journal |last=Sylow |first=L. |date=1872 |title=Théorèmes sur les groupes de substitutions |journal=Math. Ann. |volume=5 |issue=4 |pages=584–594 |language=fr |doi=10.1007/BF01442913 |jfm=04.0056.02 |s2cid=121928336 |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002242052 }}</ref>

=== Cayley-tétel ===
Az [[Arthur Cayley]]ről elnevezett tétel kimondja, hogy bármely <math>n</math> elemű <math>G</math> csoport [[izomorfia|izomorf]] az <math>S_n</math> szimmetrikus csoport valamilyen részcsoportjával. Pontosabban megfogalmazva, a szimmetrikus csoport elemei a <math>G</math> alaphalmazának permutációi.<ref>{{Cite book| last=Jacobson| first=Nathan | year=2009| title=Basic Algebra I | edition=2.kiadás | publisher=Dover Publications | isbn = 978-0-486-47189-1 |pp=38}}</ref> Vannak esetek, amikor <math>G</math> izomorf egy kisebb szimmetrikus csoport részcsoportjával, mint például a hatelemű <math>S_3</math> nem csak <math>S_6</math> egy részcsoportjával izomorf, hanem triviálisan önmagának részcsoportja is.<ref>{{cite book|author=Cameron, Peter J.|title=Introduction to Algebra, Second Edition|url=https://archive.org/details/introductiontoal00came_088|year=2008|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-852793-0|page=134]}}</ref> Egy adott csoportra megtalálni a legkisebb szimmetrikus csoportot, melynek egy részcsoportjával izomorf egy önmagában nehéz feladat.<ref>{{Cite journal| doi = 10.2307/2373739| jstor = 2373739| title = Minimal Permutation Representations of Finite Groups| journal = American Journal of Mathematics| volume = 93| issue = 4| pages = 857–866| year = 1971| last = Johnson | first = D. L.}}</ref><ref>{{Cite journal | doi = 10.1023/A:1023860730624| year = 2003| last = Grechkoseeva | first = M. A.| journal = Siberian Mathematical Journal|title=On Minimal Permutation Representations of Classical Simple Groups| volume = 44| issue = 3| pages = 443–462| s2cid = 126892470}}</ref>

A tétel értelmezhető a <math>G</math> [[csoporthatás]]ának önmagának elemeire,<ref>{{Cite book| last=Jacobson| first=Nathan | year=2009| title=Basic Algebra I | edition=2.kiadás | publisher=Dover Publications | isbn = 978-0-486-47189-1 |pp=72}}</ref> továbbá kiterjeszthető végtelen csoportokra is.

=== Burnside-tétel ===
A Burnside-tétel kimondja, hogy amennyiben <math>G</math> egy <math>p^{a}q^{b}</math> elemszámú csoport, ahol <math>p</math> és <math>q</math> prímszámok, <math>a</math> és <math>b</math> pedig nemnegatív egész számok, akkor <math>G</math> [[feloldható csoport|feloldható]]. A tételből következik, hogy bármely nem-Abel véges egyszerű csoport rendje osztható legalább három egymástól különböző prímszámmal.<ref>{{cite journal|first=W.|last= Burnside
|title=On Groups of Order ''p''<sup>''α''</sup>''q''<sup>''β''</sup>
|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|year=1904|issue= s2-1 (1)|pages= 388–392 |doi=10.1112/plms/s2-1.1.388|url=https://zenodo.org/record/1433459}}</ref>

=== Feit–Thompson-tétel ===
{{bővebben|Feit–Thompson-tétel}}
A Feit–Thompson-tétel szerint bármely páratlan rendű csoport feloldható. A tételt [[Walter Feit]] és [[John G. Thompson]] bizonyította.<ref>{{Cite web |url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm%2F1103053941 |title=Solvability of groups of odd order |accessdate=2018-07-23 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160304110229/http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm%2F1103053941 |archivedate=2016-03-04 }}</ref>

== Osztályozása ==
A véges egyszerű csoportok osztályozásának tétele szerint minden véges egyszerű csoport a következők egyikébe tartozik:
* Olyan [[ciklikus csoport]], melynek rendje prímszám,
* Legalább ötödfokú [[alternáló csoport]],
* Egyszerű [[Lie-típusú csoport]],
* A 26 [[sporadikus csoport|sporadikus egyszerű csoport]] egyike,
* A [[Tits-csoport]] (esetenként a 27. sporadikus csoportnak tekinthető)

A véges egyszerű csoportok olyan értelemben alkotják bármely véges csoport alapköveit, ahogy a prímszámok "építik fel" a természetes számok bármelyikét. A [[Jordan–Hölder-tétel]] precízen megfogalmazza ezt az elképzelést, azonban fontos megjegyezni, hogy véges egyszerű csoportok "összerakása" nem határoz meg egyértelműen egy véges csoportot, ugyanis létezhetnek nem-izomorf csoportok, melyeknek egyezik a kompozíciólánca.

== Adott rendű csoportok száma ==
Adott <math>n</math> pozitív egész számra nem mindig magától értetődő, hogy hány <math>n</math> elemszámú csoport létezik izomorfiáig bezárólag. A következő esetek azonban megkönnyítik a klasszifikációt:
*A Lagrange-tételből következik, hogy minden olyan csoport ciklikus, melynek rendje egy prímszám, ugyanis a csoport bármely nemneutrális eleme olyan részcsoportot generál, mely egyenlő az egész csoporttal. 
*Ha <math>n</math> egy prímszám négyzete, akkor pontosan kettő nem-izomorf <math>n</math>-edrendű csoport van, és mindkettő Abel.

{| class="wikitable"
|-----
! Rend ''n''
! Csoportok száma<ref>{{cite book |first=John F. |last=Humphreys |title=A Course in Group Theory |publisher=Oxford University Press |year=1996 |isbn=0198534590 |pages=238–242 |zbl=0843.20001}}</ref>
! Ezek közül Abel<ref>{{cite web|url=https://oeis.org/A000688|title=Number of Abelian groups of order n; number of factorizations of n into prime powers.|website=The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences}}</ref>
! Ezek közül nem-Abel
|-----
! 0
| 0
| 0
| 0
|-----
! 1
| 1
| 1
| 0
|-----
! 2
| 1
| 1
| 0
|-----
! 3
| 1
| 1
| 0
|-----
! 4
| 2
| 2
| 0
|-----
! 5
| 1
| 1
| 0
|-----
! 6
| 2
| 1
| 1
|-----
! 7
| 1
| 1
| 0
|-----
! 8
| 5
| 3
| 2
|-----
! 9
| 2
| 2
| 0
|-----
! 10
| 2
| 1
| 1
|-----
! 11
| 1
| 1
| 0
|-----
! 12
| 5
| 2
| 3
|-----
! 13
| 1
| 1
| 0
|-----
! 14
| 2
| 1
| 1
|-----
! 15
| 1
| 1
| 0
|-----
! 16
| 14
| 5
| 9
|-----
! 17
| 1
| 1
| 0
|-----
! 18
| 5
| 2
| 3
|-----
! 19
| 1
| 1
| 0
|-----
! 20
| 5
| 2
| 3
|-----
! 21
| 2
| 1
| 1
|-----
! 22
| 2
| 1
| 1
|-----
! 23
| 1
| 1
| 0
|-----
! 24
| 15
| 3
| 12
|-----
! 25
| 2
| 2
| 0
|-----
! 26
| 2
| 1
| 1
|-----
! 27
| 5
| 3
| 2
|-----
! 28
| 4
| 2
| 2
|-----
! 29
| 1
| 1
| 0
|-----
! 30
| 4
| 1
| 3
|}

== Megjegyzések ==
{{notelist}}

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}

== Fordítás ==
{{fordítás|en|Finite group}}

{{Csoportelmélet}}
{{portál|Matematika}}

[[Kategória:Csoportelmélet]]