Praktikus számok forrásának megtekintése

A [[számelmélet]] területén egy pozitív egész szám akkor tartozik a '''praktikus számok''' vagy '''pánaritmikus számok'''<ref>{{harvtxt|Margenstern|1991}} idézi {{harvtxt|Robinson|1979}} és {{harvtxt|Heyworth|1980}}-t a pánaritmikus számok kifejezések terén.</ref> közé, ha egymástól különböző osztóinak összegével az összes nála kisebb pozitív egész szám kifejezhető. Például a 12 praktikus szám, mert 1-től 11-ig a számok kifejezhetők 12 osztóinak, tehát az 1, 2, 3, 4, 6 összegeként (beleértve magukat az osztókat): 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 és 11 = 6 + 3 + 2.

A praktikus számok sorozata {{OEIS|A005153}} így kezdődik:
:1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

A praktikus számok megjelentek [[Fibonacci]] 1202-ben íródott [[Liber Abaci]]-jében, [[racionális számok]] [[egyiptomi tört]]ekkel való kifejezésével kapcsolatban. Fibonacci formálisan nem definiálta a praktikus számok fogalmát, de táblázatában megjelennek a praktikus nevezőjű törtek egyiptomi törtekkel való kifejezései.<ref name="sigler">{{harvtxt|Sigler|2002}}.</ref>

Maga a „praktikus szám” kifejezés {{harvtxt|Srinivasan|1948}}-nak köszönhető, aki először próbálta meg osztályozni ezeket a számokat, amit aztán {{harvtxt|Stewart|1954}} és {{harvtxt|Sierpiński|1955}} fejezett be. [[Karakterizáció]]juk alapján egyszerűen eldönthető egy szám praktikussága [[prímtényező]]s felbontásuk alapján. Minden páros [[tökéletes szám]] és minden [[kettőhatvány]] is praktikus szám.

A praktikus számok több jellemzőjük alapján analógiát mutatnak a [[prímszám]]okkal.<ref>{{harvtxt|Hausman|Shapiro|1984}}; {{harvtxt|Margenstern|1991}}; {{harvtxt|Melfi|1996}}; {{harvtxt|Saias|1997}}.</ref>

==A praktikus számok karakterizációja==
Ahogy {{harvtxt|Stewart|1954}} és {{harvtxt|Sierpiński|1955}} megmutatták, egy szám praktikus volta egyszerűen eldönthető [[prímfelbontás]]a alapján.
Legyen <math>n>1</math> pozitív egész szám prímtényezős felbontása <math>n=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k}</math> (ahol a prímek sorba vannak rendezve, <math>p_1<p_2<\dots<p_k</math>); ebben az esetben <math>n</math> [[akkor és csak akkor]] praktikus szám, ha minden <math>p_i</math> prímtényezője kellően kicsi ahhoz, hogy <math>p_i-1</math> kifejezhető legyen a kisebb osztók összegeként. Ahhoz, hogy ez teljesüljön, az első <math>p_1</math> prímnek 2-nek kell lennie, és minden {{mvar|i}}-re 2&nbsp;és&nbsp;{{mvar|k}} között, minden további <math>p_i</math>-nek teljesítenie kell a következő egyenlőtlenséget:
:<math>p_i\leq1+\sigma(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_{i-1}^{\alpha_{i-1}})=1+\prod_{j=1}^{i-1}\frac{p_j^{\alpha_j+1}-1}{p_j-1},</math>
ahol <math>\sigma(x)</math> jelöli ''x'' [[osztóösszeg-függvény|osztóinak összegét]]. Például 2 × 3² × 29 × 823 = 429606 praktikus szám, mivel a fenti egyenlőtlenség igaz mindegyik prímtényezőjére: 3 ≤ σ(2)+1 = 4, 29 ≤ σ(2 × 3²)+1 = 40 és 823 ≤ σ(2 × 3² × 29)+1=1171. Ez a karakterizáció kiterjeszti {{harvtxt|Srinivasan|1948}} részleges klasszifikációját.

A fenti feltétel szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy szám praktikus legyen. Egyrészt, a feltétel szükséges ahhoz, hogy a <math>p_i-1</math> kifejezhető legyen ''n'' osztóinak összegeként, mivel ha az egyenlőtlenség nem teljesül, akkor az összes kisebb osztót összeadva sem érné el az összeg a <math>p_i-1</math>-et. Másrészt, a feltétel elégséges is, ami indukcióval megmutatható.

Ennél jóval erősebb állítást fogunk bizonyítani: ha ''n'' prímtényezős felbontása kielégíti a fenti feltételeket, akkor bármely <math>m \le \sigma(n)</math> kifejezhető ''n'' osztóinak összegeként, a következő lépésekben:
* Legyen <math>q = \min\{\lfloor m/p_k^{\alpha_k}\rfloor, \sigma(n/p_k^{\alpha_k})\}</math> és legyen <math>r = m - qp_k^{\sigma_k}</math>.
* Mivel <math>q\le\sigma(n/p_k^{\alpha_k})</math> és <math>n/p_k^{\alpha_k}</math> indukcióval igazolhatóan praktikus számok, ezért ''q'' kifejezhető <math>n/p_k^{\alpha_k}</math> osztóösszegeként.
* Mivel <math>r\le \sigma(n) - p_k^{\alpha_k}\sigma(n/p_k^{\alpha_k}) = \sigma(n/p_k)</math>, és mivel <math>n/p_k</math> indukcióval igazolhatóan praktikus, ''r'' felírható <math>n/p_k</math> osztóinak összegeként.
* Az ''r''-et reprezentáló osztók, együtt <math>p_k^{\alpha_k}</math>-szor a ''q''-t reprezentáló minden egyes osztóval együtt alkotják ''m'' reprezentációját mint ''n'' osztóinak összege.

==Tulajdonságaik==
*Az egyetlen páratlan praktikus szám az 1, mivel ha ''n'' > 2 páratlan szám, akkor 2 nem fejezhető ki ''n'' osztóinak összegeként. Ennél erősebb {{harvtxt|Srinivasan|1948}} megfigyelése, miszerint 1 és 2 kivételével minden praktikus szám osztható 4-gyel és/vagy 6-tal.
*Két praktikus szám szorzata is praktikus szám.<ref>Margenstern,1991</ref> Ennél erősebb kitétel, hogy bármely két praktikus szám [[legkisebb közös többszörös]]e is praktikus szám.
*A praktikus számok halmaza szorzásra nézve zárt.
*Stewart és Sierpiński fenti karakterizációjából látható az is, hogy ha ''n'' praktikus szám, aminek ''d'' az egyik osztója, akkor ''n&middot;d'' is praktikus szám.
*A praktikus számok közül megkülönböztethetjük a '''primitív praktikus számokat'''. A primitív praktikus számok olyan praktikus számok, melyek vagy [[négyzetmentes számok]], vagy elosztva valamely 1-nél nagyobb kitevőjű prímosztójukkal a hányados már nem ad praktikus számot. A primitív praktikus számok sorozata {{OEIS|A267124|}} így kezdődik:
::1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

==Kapcsolatuk más számcsoportokkal==
Számos említésre méltó egész számhalmaz létezik, ami kizárólag praktikus számokból áll:
*Abból, hogy ha ''n'' praktikus szám, aminek ''d'' az egyik osztója, akkor ''n&middot;d'' is praktikus szám, következik, hogy 2 és 3 minden hatványának hatszorosa is praktikus szám.
*Minden [[kettőhatvány]] praktikus szám.<ref name="s48"/> Kettő hatványai triviálisan kielégítik a prímfelbontási követelményeket: a prímtényezős felbontásukban egyedül szereplő ''p''<sub>1</sub> a feltételek szerint megegyezik kettővel.
*Minden páros [[tökéletes szám]] is praktikus szám.<ref name="s48"/> Ez következik [[Leonhard Euler]] eredményéből, miszerint minden páros tökéletes szám felírható 2<sup>''n''&nbsp;−&nbsp;1</sup>(2<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1) alakban. A felbontás páratlan része megegyezik a páros rész osztóösszegével, így minden ilyen szám páratlan prímosztója legfeljebb a páros rész osztóösszege lehet. Ezért a szám kielégíti a praktikus számok követelményeit.
*Minden [[primoriális]] (az első valahány prímszám szorzata) praktikus szám.<ref name="s48"/> Az első két primoriálisra, 2-re és 6-ra ez egyértelmű. A többi primoriálist úgy képezzük, hogy egy ''p''<sub>''i''</sub> prímszámot összeszorzunk egy kisebb primoriálissal, ami osztható 2-vel és a következő legkisebb prímszámmal, ''p''<sub>''i''&nbsp;−&nbsp;1</sub>-gyel. A [[Bertrand-posztulátum]] alapján ''p''<sub>''i''</sub>&nbsp;<&nbsp;2''p''<sub>''i''&nbsp;−&nbsp;1</sub>, tehát a primoriális minden rákövetkező prímtényezője kisebb az előző primoriális valamely osztójánál. Indukcióval belátható, hogy minden primoriális megfelel a praktikus számok karakterizációjának.
*A primoriálisokat általánosítva, bármely szám, ami az első ''k'' prímszám nemnulla hatványának szorzatából áll elő, szintén praktikus szám. Ebbe beletartoznak a [[Srínivásza Rámánudzsan|Rámánudzsan]] által definiált [[erősen összetett számok]] (számok, melyeknek több osztójuk van a náluk kisebb összes számnál) és a [[faktoriális]] számok is.<ref name="s48">{{harvtxt|Srinivasan|1948}}.</ref>

==Praktikus számok és egyiptomi törtek==
Ha ''n'' praktikus szám, akkor bármely ''m''/''n'' alakú [[racionális szám]] kifejezhető a ∑''d<sub>i</sub>''/''n'' összeggel, ahol minden ''d<sub>i</sub>'' az ''n''-nek különböző osztója. Az összeg minden tagja [[egységtört]]té egyszerűsíthető, ezért az összeg megfelel ''m''/''n'' [[egyiptomi tört]]ként való kifejezésének. Például:
:<math>\frac{13}{20}=\frac{10}{20}+\frac{2}{20}+\frac{1}{20}=\frac12+\frac1{10}+\frac1{20}.</math>

Fibonacci 1202-es ''[[Liber Abaci]]''-jében<ref name="sigler"/> számos módszert ír le racionális számok egyiptomi törtként való felírására. Ezek közül az első annak vizsgálata, hogy a szám esetleg máris egységtört, de a másodikban megkísérli kifejezni a számlálót a nevező osztóinak összegeként; ez a módszer csak akkor ad garantáltan eredményt, ha a nevező praktikus szám. Fibonacci táblázatokat készített az olyan törtekhez, ahol a számláló a 6, 8, 12, 20, 24, 60 és 100 praktikus számok egyike.

{{harvtxt|Vose|1985}} megmutatta, hogy minden ''x''/''y'' alakú szám kifejezhető legfeljebb <math>\scriptstyle O(\sqrt{\log y})</math> tagból álló egyiptomi tört alakban. A bizonyítás részeként praktikus számok ''n''<sub>''i''</sub> sorozatát keressük azzal a tulajdonsággal, hogy minden ''n''<sub>''i''</sub>-nél kisebb szám felírható az ''n''<sub>''i''</sub> szám <math>\scriptstyle O(\sqrt{\log n_{i-1}})</math> különböző osztójának összegeként. Ekkor úgy választjuk meg ''i''-t, hogy ''n''<sub>''i''&nbsp;−&nbsp;1</sub>&nbsp;<&nbsp;''y''&nbsp;≤&nbsp;''n''<sub>''i''</sub> és ''xn<sub>i</sub>''-t ''y''-nal elosztva ''q''-t kapunk ''r'' maradékkal. Az előző választásainkból következik, hogy <math>\scriptstyle\frac{x}{y}=\frac{q}{n_i}+\frac{r}{yn_i}</math>. A jobb oldal számlálóit kibontva ''n''<sub>''i''</sub> osztóösszegeinek alakjába megkapjuk a kívánt egyiptomi tört-alakot. {{harvtxt|Tenenbaum|Yokota|1990}} hasonló technikát alkalmaz, de praktikus számok egy másik sorozatát használja annak megmutatására, hogy minden ''x''/''y'' alakú szám felírható egyiptomi tört alakban oly módon, hogy a legnagyobb nevező <math>\scriptstyle O(\frac{y\log^2 y}{\log\log y})</math>.

[[Szun Cse-vej]] 2015. szeptemberi sejtése szerint<ref>{{Cite web |url=http://maths.nju.edu.cn/~zwsun/UnitFraction.pdf |title=A Conjecture on Unit Fractions Involving Primes |accessdate=2016-11-22 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20181019140138/http://maths.nju.edu.cn/~zwsun/UnitFraction.pdf |archivedate=2018-10-19 }}</ref> bármely pozitív [[racionális szám]] felírható véges számú praktikus szám [[reciprok]]összegeként, tehát olyan egyiptomi törtkifejezésként, ahol minden nevező praktikus szám. A sejtés bizonyítása [[David Eppstein]] blogján olvasható.<ref>{{Cite web |url=http://11011110.livejournal.com/338196.html# |title=0xDE: Egyptian fractions with practical denominators |accessdate=2016-11-22 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170322153230/http://11011110.livejournal.com/338196.html# |archivedate=2017-03-22 }}</ref>

== Prímszámokkal való analógiák==
A praktikus számok iránti érdeklődés egyik oka, hogy számos tulajdonságukban hasonlítanak a [[prímszámok]]ra. Valóban, léteznek a [[Goldbach-sejtés]]nek és az [[ikerprím-sejtés]]nek analógiái praktikus számokra nézve: minden pozitív egész szám felírható két praktikus szám összegeként, illetve végtelen számú ''x''&nbsp;−&nbsp;2,&nbsp;''x'',&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;2 alakú praktikusszám-triplet létezik.<ref>{{harvtxt|Melfi|1996}}.</ref> [[Giuseppe Melfi|Melfi]] megmutatta, hogy végtelen számú praktikus [[Fibonacci-szám]] létezik {{OEIS|id=A124105}}; az analóg kérdés, hogy létezik-e végtelen számú [[Fibonacci-prím]], még eldöntetlen. {{harvtxt|Hausman|Shapiro|1984}} megmutatta, hogy bármely pozitív valós ''x''-re létezik praktikus szám az [''x''²,(''x''&nbsp;+&nbsp;1)²] intervallumban, ami analóg a prímszámokra vonatkozó [[Legendre-sejtés]]sel.

Jelölje ''p''(''x'') a legfeljebb&nbsp;''x'' nagyságú praktikus számok számát.
{{harvtxt|Margenstern|1991}} sejtése szerint ''p''(''x'') aszimptotikusan egyenlő ''cx''/log&nbsp;''x''-szel valamely ''c'' konstansra, ami a [[prímszámtétel]]re emlékeztető képlet. A képlet megerősíti {{harvtxt|Erdős|Loxton|1979}} sejtését, miszerint a praktikus számok zéró [[természetes sűrűség|sűrűséggel]] helyezkednek el az egészek között.
{{harvtxt|Saias|1997}} bizonyította, hogy megfelelő ''c''<sub>1</sub> és ''c''<sub>2</sub> konstansokra:

:<math>c_1\frac x{\log x}<p(x)<c_2\frac x{\log x},</math>

Végül {{harvtxt|Weingartner|2015}} bizonyította Margenstern sejtését, megmutatva, hogy

:<math>p(x) = \frac{c x}{\log x}\left(1 + O\!\left(\frac{\log \log x}{\log x}\right)\right),</math>

ha <math>x \geq 3</math> és a konstans <math>c > 0</math>.

==Egyéb sejtések==
[[Szun Cse-vej]] 2013-as sejtése szerint az <math>a(n)^{(1/n)}</math> (n = 3, 4,...) sorozat szigorúan monoton csökkenő, határértéke 1.

Szun Cse-vej 2015-ös sejtése szerint bármely r pozitív racionális számhoz léteznek olyan, páronként különböző q(1)..q(k) praktikus számok, melyekre igaz, hogy <math>r = \sum_{j=1..k} \frac{1}{q(j)}.</math> <br/>Például 2 = 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12, ahol 1, 2, 4, 6 és 12 praktikus számok, vagy 10/11 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/48 + 1/132 + 1/176, ahol 2, 4, 8, 48, 132 és 176 praktikus számok.

==Jegyzetek==
{{reflist|30em}}

==Irodalom==
*{{citation
 | last1 = Erdős | first1 = Paul | author1-link = Erdős Pál
 | last2 = Loxton | first2 = J. H.
 | doi = 10.1017/S144678870001243X
 | journal = Journal of the Australian Mathematical Society (Series A)
 | pages = 319–331
 | issue = 03
 | title = Some problems in partitio numerorum
 | volume = 27
 | year = 1979}}.
*{{citation
 | last = Heyworth | first = M. R.
 | issue = 1
 | journal = New Zealand Math. Mag.
 | pages = 24–28
 | title = More on panarithmic numbers
 | volume = 17
 | year = 1980}}. As cited by {{harvtxt|Margenstern|1991}}.
*{{citation
 | last1 = Hausman | first1 = Miriam | last2 = Shapiro | first2 = Harold N.
 | title = On practical numbers
 | journal = [[Communications on Pure and Applied Mathematics]]
 | volume = 37
 | year = 1984
 | issue = 5
 | pages = 705–713
 | mr = 0752596
 | doi = 10.1002/cpa.3160370507}}.
*{{citation
 | last = Margenstern | first = Maurice
 | issue = 18
 | journal = C. R. Acad. Sci. Sér. I
 | pages = 895–898
 | title = Résultats et conjectures sur les nombres pratiques
 | volume = 299
 | year = 1984}}. As cited by {{harvtxt|Margenstern|1991}}.
*{{citation
 | last = Margenstern | first = Maurice
 | title = Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures
 | journal = [[Journal of Number Theory]]
 | volume = 37
 | year = 1991
 | issue = 1
 | pages = 1–36
 | mr = 1089787
 | doi = 10.1016/S0022-314X(05)80022-8}}.
*{{citation
 | authorlink = Giuseppe Melfi | last = Melfi | first = Giuseppe
 | title = On two conjectures about practical numbers
 | journal = Journal of Number Theory
 | volume = 56
 | year = 1996
 | issue = 1
 | pages = 205–210
 | mr = 1370203
 | doi = 10.1006/jnth.1996.0012}}.
*{{citation
 | last1 = Mitrinović | first1 = Dragoslav S.
 | last2 = Sándor | first2 = József
 | last3 = Crstici | first3 = Borislav
 | contribution = III.50 Practical numbers
 | isbn = 978-0-7923-3823-9
 | pages = 118–119
 | publisher = Kluwer Academic Publishers
 | series = Mathematics and its Applications
 | title = Handbook of number theory, Volume 1
 | volume = 351
 | year = 1996}}.
*{{citation
 | last = Robinson | first = D. F.
 | issue = 2
 | journal = New Zealand Math. Mag.
 | pages = 47–52
 | title = Egyptian fractions via Greek number theory
 | volume = 16
 | year = 1979}}. As cited by {{harvtxt|Margenstern|1991}} and {{harvtxt|Mitrinović|Sándor|Crstici|1996}}.
*{{citation
 | last = Saias | first = Eric
 | title = Entiers à diviseurs denses, I
 | journal = Journal of Number Theory
 | volume = 62
 | issue = 1
 | year = 1997
 | pages = 163–191
 | mr = 1430008
 | doi = 10.1006/jnth.1997.2057}}.
*{{citation
 | title = Fibonacci's Liber Abaci
 | last = Sigler | first = Laurence E. (trans.)
 | publisher = Springer-Verlag
 | year = 2002
 | isbn = 0-387-95419-8
 | pages = 119–121}}.
*{{citation
 | last = Sierpiński | first = Wacław | author-link = Wacław Sierpiński
 | doi = 10.1007/BF02410762
 | issue = 1
 | journal = Annali di Matematica Pura ed Applicata
 | pages = 69–74
 | title = Sur une propriété des nombres naturels
 | volume = 39
 | year = 1955}}.
*{{citation
 | last = Srinivasan | first = A. K.
 | title = Practical numbers
 | journal = [[Current Science]]
 | volume = 17
 | year = 1948
 | pages = 179–180
 | mr = 0027799
 | url = http://www.currentscience.ac.in/Downloads/article_id_017_06_0179_0180_0.pdf}}.
*{{citation
 | last = Stewart | first = B. M.
 | title = Sums of distinct divisors
 | journal = [[American Journal of Mathematics]]
 | volume = 76
 | year = 1954
 | pages = 779–785
 | mr = 0064800
 | doi = 10.2307/2372651
 | jstor = 2372651
 | issue = 4
 | publisher = The Johns Hopkins University Press}}.
*{{citation
 | last1 = Tenenbaum | first1 = G.
 | last2 = Yokota | first2 = H.
 | doi = 10.1016/0022-314X(90)90109-5
 | mr = 1057319
 | journal = Journal of Number Theory
 | pages = 150–156
 | issue = 2
 | title = Length and denominators of Egyptian fractions
 | volume = 35
 | year = 1990}}.
*{{citation
 | last = Vose | first = M.
 | doi = 10.1112/blms/17.1.21
 | mr = 0766441
 | journal = [[London Mathematical Society|Bulletin of the London Mathematical Society]]
 | page = 21
 | title = Egyptian fractions
 | issue = 1
 | volume = 17
 | year = 1985}}.
*{{citation
 | last = Weingartner | first = A.
 | issue = 2
 | journal = The Quarterly Journal of Mathematics
 | pages = 743–758
 | title = Practical numbers and the distribution of divisors
 | volume = 66
 | year = 2015
 | doi = 10.1093/qmath/hav006}}.

== További információk ==
*[http://www.dm.unipi.it/gauss-pages/melfi/public_html/pratica.html Tables of practical numbers] {{Wayback|url=http://www.dm.unipi.it/gauss-pages/melfi/public_html/pratica.html |date=20171226180416 }} compiled by Giuseppe Melfi.
*{{PlanetMath |urlname=PracticalNumber |title=Practical Number}}
*{{Mathworld |urlname=PracticalNumber |title=Practical Number}}

{{osztóosztályok}}
{{természetes számok}}

[[Kategória:Nevezetes számsorozatok]]
[[Kategória:Egyiptomi törtek]]