Kommutatív algebra forrásának megtekintése

[[File:Emmy noether postcard 1915.jpg|thumb|[[Emmy Noether]], a kommutatív algebra úttörő kutatója által E. Fischernek írt, Noether kommutatív algerbai munkájáról szóló levelezőlap]]

A '''kommutatív algebra''' az [[algebra]] egy részterülete. [[Kommutatív gyűrű]]kkel és a felettük létező [[Modulus (matematika)|modulusokkal]] foglalkozik. Mind az [[algebrai számelmélet]], mind az [[algebrai geometria]] alapvető módon épít a kommutatív algebra eredményeire. Utóbbiban a kommutatív algebra biztosítja az ún. sémák lokális vizsgálatának eszközeit.

Fontos és közismert példák kommutatív gyűrűre a következők: [[polinomgyűrű]]k, [[algebrai egész szám|algebrai egészek]] gyűrűi a [[racionális számok]] testbővítéseiben – speciálisan ezek közé tartozik a [[Egész számok|racionális egész számok]] <math>\mathbb Z</math> gyűrűje –, illetve a [[P-adikus számok|''p''-adikus egészek]].{{refhely|Atiyah–Macdonald|Chapter 1}}

Az algebrai számelméletben egy számtest (a [[racionális számok]] <math>\mathbb Q</math> testének véges bővítése) [[Algebrai egész szám|algebrai egészeinek]] gyűrűje [[Dedekind-gyűrű]]. Ezek viselkedésének vizsgálata a kommutatív algebra fejlődésének egy fontos motiváló ereje. Emellett a kommutatív algebra számos fogalma megfeleltethető az algebrai geometriában megjelenő (gyakran általánosabb) fogalmaknak. Ez áll többek között a [[Krull-dimenzió]], a [[primér felbontás]], a [[reguláris gyűrű]]{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/02IS 02IS]}}, a [[Cohen–Macaulay-gyűrű]]{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/02IO 02IO]}} illetve a [[Gorenstein-gyűrű]]{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AWW 0AWW]}} fogalmára.

A nem feltétlenül kommutatív gyűrűk vizsgálatával a [[nemkommutatív algebra]] foglalkozik. Ez magában foglalja a [[gyűrűelmélet]]et, a [[reprezentációelmélet]]et, és a [[Banach-algebra|Banach-algebrák]] elméletét.

== Számelméleti vonatkozások ==

A kommutatív algebra által vizsgált objektumok először feltehetően a [[algebrai számelmélet|számelméletben]] jelentek meg.{{refhely|Eisenbud|§1.1, p.21}} Az alapvető felismerés abban állt, hogy ha <math>\mathbb Z</math>-t egy polinom gyökeivel bővítjük, a kapott bővítés hasonlóságokat mutat <math>\mathbb Z</math>-vel.

Ezeket a kutatásokat a [[nagy Fermat-sejtés]] is motiválta. A sejtés szerint az
:<math>x^n+y^n=z^n</math>
egyenletnek nincs a racionális egész számok között <math>(x,y,z)=(0,0,0)</math>-tól különböző megoldása, ha <math>n\ge3</math>. Az állítás könnyen redukálható arra az esetre, ha <math>n=p</math> prímszám. Egy lehetséges útnak tűnt a bizonyítás felé az egyenlet bal oldalának faktorizálása: ha <math>\mathbb Z</math> helyett <math>\mathbb Z[\zeta_p]</math>-ben dolgozunk, ahol <math>\zeta_n</math> primitív <math>p</math>-edik egységgyök, akkor a bal oldal szorzattá bontható:
<math>x^p+y^p=\prod_{i=0}^{p-1}(x+\zeta_p^i y)=z^p</math>.
Így a bal és a jobb oldalon is egy <math>p</math> tényezős szorzat szerepel. Ha most alkalmazhatnánk a [[számelmélet alaptétele|számelmélet alaptételét]] <math>\mathbb Z[\zeta_p]</math>-ben, akkor mindkét oldalt prímelemek szorzatára bonthatnánk, ami ellentmondáshoz vezethetne. A probléma viszont az, hogy a <math>\mathbb Z[\zeta_p]</math> gyűrű általában nem [[UFD]], azaz nem igaz benne a számelmélet alaptétele.{{refhely|Zábrádi|§3.11}}

Ez a megközelítés vezetett az ideál fogalmának [[Richard Dedekind|Dedekind]] általi bevezetéséhez. A név ideális, azaz nem valódi elemekre utal.{{refhely|Eisenbud|§1.1, p.22}} Az ideálok a gyűrűelemek általánosításainak tekinthetők annyiban, hogy minden gyűrűelem generál egy főideált; az alaptétel szempontjából ez nem vezet gondokhoz, hiszen a prímfelbontás amúgy is mindig csak egységek erejéig egyértelmű. Dedekind sikeresen meghatározta azokat a gyűrűket, amikben az ideálok egyértelműen felírhatók prímideálok szorzataként: ezek a [[Dedekind-gyűrű]]k.

Az ideálok bevezetése önmagában nem volt elegendő a Fermat-tétel bizonyításához. Ugyanakkor ezeken keresztül [[Ernst Eduard Kummer|Kummer]] sikeresen igazolta a tételt reguláris prímekre, azaz olyan <math>p</math>-kre, amik nem osztják a <math>\mathbb Q(\zeta_p)</math> test [[Algebrai számelmélet#Osztálycsoport|osztályszám]]át.{{refhely|Zábrádi|§3.12.1}} (37, 59 és 67 kivételével minden 100 alatti prím reguláris.)

A gyűrűbővítések egy másik útját Kronecker alapozta meg: bevezette a [[polinomgyűrű]] fogalmát, és egy <math>K</math> [[test (algebra)|test]] feletti <math>f(X)</math> polinom gyökeivel való bővítést <math>K[X]/(f(X))</math> alakban értelmezett. Kronecker továbbá definiálta a Dedekind-féle ideálok megfelelőit ebben a felállásban. Egyértelmű prímfelbontás ugyan nem létezik ebben az esetben, viszont egy gyengébb formája fennáll: ez a [[Lasker]] által bizonyított [[#Primér felbontás|primér felbontás]].{{refhely|Eisenbud|§1.1, p.23}}

A két fent vázolt elméletet [[Emmy Noether|Noether]] helyezte közös alapokra, úttörő munkát végezve a kommutatív algebra modern megalapozásában.{{refhely|Eisenbud|p.23}}

== Főbb eszközök és eredmények ==
Konvenció: a továbbiakban gyűrű alatt [[Kommutatív gyűrű|kommutatív]] [[Egységelemes gyűrű|egységelemes]] gyűrűt értünk.
=== Noether-gyűrűk ===
{{fő|Noether-gyűrű}}
A Noether-gyűrűk mind a kommutatív, mind a nemkommutatív gyűrűelméletben alapvető fontosságúak. Egy '''Noether-gyűrű''' olyan gyűrű, amiben [[Ideál (gyűrűelmélet)|ideál]]ok bármely nemüres halmazának van maximális eleme. Ezzel ekvivalens, hogy a gyűrű teljesíti a '''maximumfeltételt''' ideálokra. Ez alatt azt értjük, hogy ideálok bármely
:<math>I_1\subseteq\cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq\cdots</math>
lánca stabilizálódik, azaz létezik olyan ''n'', hogy:
:<math>I_{n}=I_{n+1}=\cdots</math>
Egy kommutatív gyűrű továbbá akkor és csak akkor Noether, ha minden ideál végesen generált.{{refhely|Goldhaber–Ehrlich|§7.1}}

{{horgony|Lokalizáció}}
=== Lokalizáció ===
A lokalizáció az [[integritási tartományok]]ra értelmezett [[hányadostest]]-fogalom általánosításának tekinthető. Heurisztikusan a lokalizálás során megengedjük a gyűrű bizonyos elemeivel való osztást, ez ugyanakkor a hányadostest-konstrukcióval szemben nem az összes nemzéró elem, hanem ezeknek csak egy részhalmaza lesz.

A formális definícióhoz először bevezetjük a '''multiplikatívan zárt részhalmaz''' fogalmát: ez az <math>R</math> gyűrű egy olyan <math>S\subseteq R</math> részhalmaza, ami tartalmazza a gyűrű egységelemét, és ha <math>s,s'\in S</math>, akkor <math>ss'\in S</math>.

Tekintsük a következő relációt az <math>R\times S</math> halmazon: <math>(r,s)\sim(r',s')</math> akkor és csak akkor, ha létezik olyan <math>t\in S</math>, hogy <math>t(sr'-s'r)=0</math>. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez [[ekvivalenciareláció]].
Az <math>R</math> gyűrű <math>S</math>-nél vett <math>S^{-1}R</math> '''lokalizáltja''' ekkor az erre a relációra nézve vett ekvivalenciaosztályok halmaza; a továbbiakban az <math>(r,s)</math> elem osztályát <math>r/s</math> jelöli. A lokalizálton az összeadást és a szorzást a következőképpen definiáljuk:
:<math>\frac{r}{s}+\frac{r'}{s'}=\frac{rs'+r's}{ss'}</math>, <math>\frac r s \cdot \frac{r'}{s'}=\frac{rr'}{ss'}</math>.
A kapott gyűrűn a [[zéruselem]] így <math>0/1</math>, az egységelem <math>1/1</math> lesz.

Jegyezzük meg, hogy a „nevezők” <math>S</math> halmazában megengedjük a zéróosztókat. Ha <math>S</math> tartalmaz egy zéróosztót, akkor <math>S^{-1}R=0</math>. Ha <math>S</math> nullosztómentes, akkor akkor <math>R</math> beágyazható a lokalizáltba az 
:<math>R\hookrightarrow S^{-1}R, r\mapsto\frac{r}{1}</math>
leképezéssel.

Ha <math>S</math> az <math>R</math> összes nemnullosztójából áll, akkor a lokalizáltat az <math>R</math> '''teljes hányadosgyűrűjének''' nevezzük.{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/02C5 02C5 (3)]}}

Fontos speciális eset, amikor <math>S=R-\mathfrak p</math> egy <math>\mathfrak p</math> prímideál komplementere. Ekkor a prímideál definíciója révén multiplikatív halmazt kapunk. Ilyenkor a lokalizált szokásos jelölése <math>S^{-1}R=R_\mathfrak{p}</math>.

A lokalizáció fogalma kiterjed a gyűrű fölötti modulusokra is: ha <math>M</math> egy <math>R</math>-modulus, akkor analóg módon definiálható az <math>S^{-1}M</math> <math>S^{-1}R</math>-modulus.{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/07JZ 07JZ]}}

A lokalizáció néhány fontos tulajdonsága:
* A lokalizáció rendelkezik a következő [[univerzális tulajdonság]]gal: bármely <math>R</math>-en értelmezett gyűrűhomomorfizmus, amely <math>S</math> elemeit egységekbe viszi, keresztülfaktorizál az <math>S^{-1}R</math> lokalizálton.{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/00CP 00CP]}}
* A lokalizáció [[egzakt funktor]].{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/00CS 00CS]}}
* A lokalizáció tartja a [[faktorgyűrű|faktorstruktúrát]].{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/02C8 02C8]}}
* A lokalizált ideáljai az eredeti gyűrű ideáljainak lokalizáltjai.{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/02C9 02C9]}}

Az elnevezés az algebrai geometriával kapcsolatos; itt a lokális gyűrűk algebrai varietások egy adott pontnál vett, azaz helyi (lokális) vizsgálatakor kerülnek elő.

{{horgony|Hilbert bázistétele}}
=== Hilbert bázistétele ===
'''Hilbert bázistétele''' szerint ha <math>R</math> Noether-gyűrű, akkor az <math>R</math> feletti egyváltozós polinomok <math>R[X]</math> gyűrűje is Noether-gyűrű. A tételből indukció útján következik, hogy ha <math>R</math> Noether-gyűrű, akkor <math>R[X_1,\ldots,X_n]</math> is az.

A tétel azon speciális esetét, amikor az alapgyűrű [[test (algebra)|test]], [[David Hilbert]] bizonyította először.{{refhely|Hilbert}} Az elnevezésben a ''bázis'' szó az ideálok végesen generáltságára utal, ami ekvivalens a Noether-tulajdonsággal.

A bázistétel következménye, hogy Noether-gyűrű felett végesen generált algebra maga is Noether-gyűrű.{{refhely|Eisenbud|Corollary 1.3}}

A tétel szerepe az algebrai geometriában a következő. Legyen <math>k</math> egy test, legyen adott <math>k</math> feletti <math>n</math>-változós polinomok egy 
:<math>\{p_i(X_1,\ldots,X_n): i\in I\}\subseteq k[X_1,\ldots,X_n]</math> 
halmaza, és tekintsük <math>k^n</math> azon <math>V</math> részhalmazát, amelyen valamennyi <math>p_i</math> eltűnik, azaz
:<math>V=\{(x_1,\ldots,x_n)\in k^n : p_i(x_1,\ldots,x_n)=0\, \forall i\in I\}</math>.
Ekkor <math>I</math>-nek van olyan véges <math>I'</math> részhalmaza, hogy
:<math>V=\{(x_1,\ldots,x_n)\in k^n : p(x_1,\ldots,x_n)=0\, \forall i\in I'\}</math>,
azaz <math>V</math> előáll csupán véges sok polinom közös zérushelyeként is. Ez a klasszikus algebrai geometria szempontjából azt jelenti, hogy bármely <math>k</math> feletti algebrai varietást leírható véges sok polinom közös zérushelyeként.

=== Zariski-topológia ===
Legyen <math>R</math> egy gyűrű (a szakasz eleji konvenció továbbra is érvényben van). Ekkor az <math>R</math> '''spektruma''' alatt a prímideálok halmazát 
értjük, és ezt <math>\operatorname{Spec} R</math>-rel jelöljük. Ha <math>I\subseteq R</math> egy részhalmaz (nem feltétlenül ideál), akkor legyen
:<math>\mathrm V(I)=\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec} R : I\subseteq \mathfrak p\}</math>.
Tekintsük ezeket a halmazokat az összes <math>I\subseteq R</math> részhalmazra, és definiáljuk a spektrumon a '''Zariski-topológiát''' mint azt a [[topológia|topológiát]], amiben pontosan ezek a <math>\mathrm V(I)</math> halmazok a zárt részhalmazok.{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/00E1 00E1]}} Ekkor <math>\operatorname{Spec}</math> egy [[kontravariáns funktor]] a gyűrűk kategóriájából a topologikus terek kategóriájába.{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/00E2 00E2]}} Az így definiált <math>\operatorname{Spec} R</math> topologikus teret az algebrai geometriában affin sémának nevezik.

A klasszikus algebrai geometriában a Zariski-topológia fogalma egy másik értelemben is használatos. Legyen <math>k</math> egy test, és legyen <math>I\subseteq k[X_1,\ldots,X_n]</math> <math>n</math>-változós polinomok egy halmaza (nem feltétlenül ideál a polinomgyűrűben). Ekkor a <math>k^n</math> affin téren a Zariski-topológia zárt halmazai pontosan a
:<math>V(I)=\{(x_1,\ldots,x_n) \in k^n : \forall f\in I: f(x_1,\ldots,x_n)=0\}</math>, <math>I\subseteq R</math>
halmazok, azaz azon pontok halmazai, amik valamely <math>I\subseteq R</math> részhalmazban elemeinek közös zérushelyeiként állnak elő.

A modern algebrai geometria számára az előbbi, a spektrumon alapuló megközelítés az alapvető; a gyűrűk spektrumaként előálló affin sémák a sémaelmélet alapkövei, az általános sémákat az affin sémák ún. összeragasztásával kapjuk. A fenti <math>k^n</math> <math>n</math>-dimenziós affin tér megfelelője ekkor a <math>\operatorname{Spec} R[X_1,\ldots,X_n]</math> spektrum.
A Hilbert-féle gyenge Nullstellensatz szerint a két fogalom egybeesik, ha <math>k</math> [[algebrailag zárt test]] (azaz nincsen nemtriviális algebrai bővítése) és <math>R=k[X_1,\ldots,X_n]</math>.

Az algebrai geometriai megközelítésben tehát a topológiai pontok szerepét a prímidálok veszik át, a fenti <math>\mathrm V</math> és <math>V</math> operátorok közti kapcsolat alapján pedig gondolhatunk a gyűrű elemeire mint függvényekre.{{refhely|Vakil|§3.2}}

=== Nullstellensatz ===
Nullstellensatz név alatt több különböző, egymással összefüggő tételt lehet érteni, és a szakirodalomban a megnevezések nem teljesen egységesek. A következőkben az affin Nullstellensatz bizonyos variánsairól lesz szó; emellett az algebrai geometriában létezik még projektív illetve analitikus Nullstellensatz is. A Nullstellensatz szó németül zérushelytételt jelent.

'''Gyenge Nullstellensatz''': Legyen <math>k</math> algebrailag zárt test. Ekkor a <math>k[X_1,\ldots,X_n]</math> gyűrű maximális ideáljai pontosan az <math>(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)</math> alakú ideálok, ahol <math>a_1,\ldots,a_n\in k</math>.{{refhely|Vakil|3.2.4}}

'''Nullstellensatz vagy Zariski-lemma''': Ha <math>k</math> egy test, akkor <math>k[X_1,\ldots,X_n]</math> bármely maximális ideáljának maradékteste véges bővítése <math>k</math>-nak.{{refhely|Vakil|3.2.5}}

Egy másik, szintén Nullstellensatznak nevezett tétel tartalmazásfordító bijektív (Galois-)kapcsolatot ír le az affin tér algebrai részhalmazai és a polinomgyűrű radikálideáljai között. Ennek leírásához először vezessük be az <math>\mathrm I</math> operátort: legyen <math>R</math> gyűrű, <math>S\subseteq \operatorname{Spec}(R)</math> egy részhalmaz. Ekkor
:<math>\mathrm I(S)=\bigcap_{\mathfrak p\in S} \mathfrak p</math>
Intuitíve az <math>\mathrm I(S)</math> halmaz az <math>S</math>-en eltűnő függvények halmazának felel meg.
Könnyen ellenőrizhető, hogy <math>I(S)\subseteq R</math> egy ideál, <math>\mathrm I</math> rendezésváltó, és <math>\mathrm I(S)=\mathrm I(\overline S)</math>, ahol <math>\overline S</math> az <math>S</math> lezártját jelöli a Zariski-topológiában.{{refhely|Vakil|§3.7}}

Szükségünk lesz még a '''radikál''' fogalmára. Legyen <math>J\subseteq R</math> egy ideál; ekkor <math>J</math> radikálja azon gyűrűelemekből áll, amelynek valamely hatványa <math>J</math>-ben van.
:<math>\sqrt J=\{r\in R: \exists n\ge0, r^n\in J\}</math>
Nyilvánvaló, hogy <math>J\subseteq \sqrt J</math>. Egy <math>J</math> ideált radikálideálnak nevezünk, ha <math>J=\sqrt J</math>.

'''Nullstellensatz''': a <math>\mathrm V</math> és <math>\mathrm I</math> operátorok tartalmazásfordító bijekciót adnak meg a spektrum zárt részhalmazai és a gyűrű radikálideáljai között. Speciálisan <math>\mathrm V(\mathrm I(S))=\overline S</math>, <math>\mathrm I(\mathrm V(J))=\sqrt J</math>.{{refhely|Vakil|3.7.1}}

{{horgony|Krull-dimenzió}}

=== Krull-dimenzió ===
A '''dimenzióelmélet''' a kommutatív algebra azon részterülete, ami gyűrűk (és modulusok) dimenziófogalmaival foglalkozik. Több különböző dimenziófogalom is létezik, és ezek általában nem esnek egybe.

A Krull-dimenziót a következőképpen definiáljuk. Legyen <math>\mathfrak p</math> az <math>R</math> gyűrű egy [[prímideál]]ja. Ekkor a <math>\mathfrak p</math> '''magassága''' a
: <math>0=\mathfrak p_0\subsetneq \mathfrak p_1\subsetneq\ldots\mathfrak p_n=\mathfrak p</math>
láncok <math>n</math> hosszának [[szuprémum]]a, ahol <math>\mathfrak p_0,\ldots,\mathfrak p_n</math> prímideálok. Az <math>R</math> gyűrű '''Krull-dimenziója''' a prímideáljainak magasságainak szuprémuma:
:<math>\dim R = \sup\{\operatorname{ht}(\mathfrak p) : \mathfrak p\in\operatorname{Spec R}\}</math>,
ahol {{math|Spec(''R'')}} az {{math|''R''}} spektruma, azaz a prímideálok halmaza. Mivel minden maximális ideál prím, ez megegyezik a maximális ideálok magasságainak szuprémumával. A definíció egyenes következménye, hogy egy prímideál magassága egyenlő a nála vett lokalizáció dimenziójával:
:<math>\operatorname{ht}(\mathfrak p) = \dim R_\mathfrak p</math>.{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/00KD 00KD]}}

Hasonló módon definiálható egy [[topologikus tér]] Krull-dimenziója is, ekkor prímideálok helyett irreducibilis zárt halmazok láncaival dolgozunk.{{refhely|Stacks|[https://stacks.math.columbia.edu/tag/0054 0054]}} Ez adja a kapcsolatot az algebrai geometria dimenziófogalma felé: egy gyűrű spektrumán a [[#Zariski-topológia|Zariski-topológiára]] nézve vett topologikus Krull-dimenzió megegyezik a gyűrű fent definiált algebrai Krull-dimenziójával.

A Noether-gyűrűk viszonylag jól viselkednek a Krull-dimenzióra nézve: ennek alapját Krull főideáltétele és ennek következménye, Krull magasságtétele jelentik.

{{vhorgony|Krull főideáltétele}} a következőt állítja: legyen <math>R</math> Noether-gyűrű, <math>r\in R</math> a gyűrű egy eleme, és legyen <math>r\in\mathfrak p\subset R</math> egy tartalmazásra nézve minimális prímideál. Ekkor <math>\operatorname{ht}(\mathfrak p)\le1</math>. Más szavakkal, egy főideál feletti minimális prímideál legfeljebb egy magasságú.

{{vhorgony|Krull magasságtétele}} a főideáltétel induktív következménye, és egyben annak általánosítása nem főideálokra. Legyen <math>R</math> Noether-gyűrű, legyenek <math>r_1,\ldots,r_n\in R</math>, és legyen <math>\mathfrak p</math> egy ezeket tartalmazó minimális prímideál. Ekkor a tétel szerint <math>\operatorname{ht}(\mathfrak p)\le n</math>.

Mivel Noether-gyűrűben minden ideál végesen generált, a magasságtételből következik, hogy minden prímideál magassága véges. Az ugyanakkor lehetséges, hogy ezek a magasságok nem korlátosak, és így a gyűrű Krull-dimenziója végtelen; erre először [[Nagata]] adott példát.{{refhely|Eisenbud|Exercise 9.6.}}

=== Primér felbontás ===
Noether-gyűrűkben minden ideál felírható bizonyos speciális ideálok – az ún. primér ideálok – metszeteként.

Legyen <math>I\subseteq R</math> egy ideál. Ekkor az <math>I</math> '''radikálja'''
:<math>\sqrt I = \{r \in R: \exists n\ge0: r^n\in I\}</math>,
azaz azon gyűrűelemek halmaza, amiknek valamely hatványa <math>I</math>-ben van. Könnyen ellenőrizhető, hogy <math>\sqrt I\supseteq I</math>, és <math>\sqrt I</math> ideál <math>R</math>-ben.

Egy <math>I\subseteq R</math> ideált '''primér''' ideálnak nevezünk, ha teljesül a következő:
:ha <math>a,b\in R</math> és <math>ab\in R</math>, akkor <math>a\in I</math> vagy <math>b\in\sqrt I</math>.
Ez a [[prímideál]] definíciójának gyengítése, következésképpen minden prímideál primér. Ennek a részleges megfordítása is igaz: ha <math>I</math> primér, akkor <math>\sqrt I</math> prímideál.{{refhely|Pelikán|10.1.3 Állítás}}
Noether-gyűrűben a metszetirreducibilis ideálok (azon ideálok, amik nem állnak elő két nagyobb ideál metszeteként), primér ideálok.{{refhely|Pelikán|}} Ez azt sugallja, hogy a primér ideálok alkalmasak lehetnek arra, hogy a gyűrű ideáljainak metszetként való előállításának alkotóköveiként szolgáljanak.

Legyen <math>I\subseteq R</math> egy ideál, és tegyük fel, hogy <math>I</math> előáll véges sok primér ideál, mondjuk <math>Q_1,\ldots,Q_m</math> metszeteként:
:<math>I=\bigcap_{i=1}^m Q_i</math>.
Egy ilyen felírást '''irredundáns felbontásnak''' nevezünk, ha a metszetből semelyik <math>Q_i</math> nem hagyható el, és <math>\sqrt{Q_i}\ne\sqrt{Q_j}</math>, ha <math>i\ne j</math>.

A '''Lasker–Noether-tétel''' szerint egy <math>R</math> Noether-gyűrű bármely <math>I</math> ideáljának van irredundáns felbontása primér ideálok metszeteként, továbbá <math>m</math> értéke illetve a <math>\{\sqrt {Q_i} : 1\le i\le n\}</math> halmaz minden ilyen felbontásnál azonos.{{refhely|Pelikán|10.1.10 és 10.2.5 Tétel}}

Az algebrai geometria szempontjából a tétel a következő módon írható le. Legyen <math>R=k[X_1,\ldots,X_n]</math> a <math>k</math> [[test (algebra)|test]] feletti <math>n</math> változós [[polinomgyűrű|polinomok gyűrűje]]. Ekkor <math>R</math> Noether-gyűrű [[#Hilbert bázistétele|Hilbert bázistétele]] értelmében. Legyen <math>I\subseteq R</math> egy ideál, és tekintsük az <math>I</math>-beli polinomok közös zérushelyeit <math>k^n</math>-ben:
:<math>V(I)=\{(x_1,\ldots,x_n)\in k^n : \forall f\in I: f(x_1,\ldots,x_n)=0\}</math>.
A <math>k^n</math> ilyen módon előálló részhalmazait '''affin algebrai halmazoknak''' nevezzük. Legyen <math>I=\bigcap_{i=1}^m Q_i</math> egy irredundáns primér felbontás; ekkor <math> V(I)</math> felbomlik a <math> V(Q_i)</math> affin algebrai halmazok uniójára:
:<math> V(I)=\bigcap_{i=1}^m  V(Q_i)</math>.
A <math> V(Q_i)</math> halmazok [[irreducibilis halmaz|irreducibilisek]] a Zariski-topológiában, azaz nem írhatók fel affin algebrai halmazok nemtriviális uniójaként.
<!--
=== Teljessé tétel ===
-->

== Lásd még ==
* [[Homologikus algebra]]
* [[K-elmélet]]

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}

== Források ==
* {{hely|Atiyah–Macdonald}} {{CitLib|szerző=Michael Atiyah|szerző2=Ian G. Macdonald|cím=Introduction to Commutative Algebra|kiadó=Addison-Wesley Publishing|év=1969|isbn=0-201-00361-9|hely=Reading (Massachusetts)}}
* {{hely|Eisenbud}} {{CitLib|szerző = David Eisenbud|cím=Commutative Algebra|alcím= with a View Toward Algebraic Geometry| isbn= 978-0-387-94268-1|issn=0072-5285|sorozat=Graduate Texts in Mathematics|sernr=150|year=1995|kiadó= Springer-Verlag|hely=New York}}
* {{hely|Goldhaber–Ehrlich}} {{CitLib| szerző = Jacob K. Goldhaber| szerző2=Gertrude Ehrlich|cím=Algebra|év=1971|kiadó=The Macmillan Company|hely=London}}
* {{hely|Hilbert}} {{Citation | last1=Hilbert | first1=David | author1-link=David Hilbert | title=Ueber die Theorie der algebraischen Formen | doi=10.1007/BF01208503 | year=1890 | journal=[[Mathematische Annalen]] | issn=0025-5831 | volume=36 | issue=4 | pages=473–534}}
* {{hely|Pelikán}} {{Pelikán}}
* {{hely|Stacks}} {{CitWeb |url= https://stacks.math.columbia.edu|szerző= A Stacks project szerzői |cím= The Stacks project |alcím= |közreműködők= |weblap= |nyelvkód= |hely= |kiadó= |év=2021|oldal= |elér= |formátum= |méret= |archívurl= |archívdátum= |doi= |egyéb= |idézet= }}
* {{hely|Vakil}} {{CitLib|aut=Ravi Vakil|tit=The Rising Sea|url=http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf|év=2017|nyelvkód=en}}
* {{hely|Zábrádi 2020}} {{CitLib|aut=Zábrádi Gergely|tit=Algebrai számelmélet jegyzet|url=https://zabradi.web.elte.hu/Jegyzetek/algszamjegyzet.pdf|év=2020|nyelvkód=hu}}

== Fordítás ==
*{{fordítás|en|Commutative algebra|oldid=995528605}}
*{{fordítás|en|Primary decomposition|oldid=1009154822}}

[[Kategória:Kommutatív algebra]]