Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrika forrásának megtekintése

A '''Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrika''' (FLRW) az [[Einstein-egyenletek]] egy [[egzakt megoldás]]a az [[általános relativitáselmélet]]ben.

Időtől és helytől függően több más néven is nevezték ezt a metrikát a négy független felfedezőjéről; [[Alexander Friedmann]], [[Georges Lemaître]], [[Howard Percy Robertson]] és [[Arthur Geoffrey Walker]] – néhány példa: Friedmann–Robertson–Walker- (FRW) vagy Robertson–Walker- (RW) vagy Friedmann–Lemaître-metrika (FL). Ezt az Univerzum megoldást szokás ''Standard Modell''nek is nevezni a kozmológiában.

== Az általános metrika==
Az FLRW metrika  [[Homogén (matematika)|homogén]] és [[izotrópia|izotrop]] térből indul ki. 
Ezeket a feltételeket kielégítő általános metrika az alábbi:
:<math>- c^2 \mathrm{d}\tau^2 = - c^2 \mathrm{d}t^2 + {a(t)}^2 \mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2</math>
ahol <math>\mathbf{\Sigma}</math>  a 3 dimenziós tér általános metrikája, ez lehet, [[elliptikus]], [[Euklideszi tér (lineáris algebra)|euklideszi]], vagy [[hiperbolikus]]. 
<math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}</math> nem függ ''t''-től, az időtől való függés kizárólag az ''a''(''t'') függvényben szerepel, melyet szokás "[[skála faktor]]nak" vagy "skála függvénynek" nevezni.

Polár koordináták esetén a térszerű rész a következő alakú
:<math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \frac{\mathrm{d}r^2}{1-k r^2} + r^2 \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2, \quad \text{ahol } \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2 = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2.</math>

''hyperbolikus'' 
koordináták esetén
:<math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \mathrm{d}r^2 + S_k(r)^2 \, \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2</math>
ahol
:<math>S_k(r) =
\begin{cases}
\sqrt{k}^{\,-1} \sin (r \sqrt{k}), &k > 0 \\
r, &k = 0 \\
\sqrt{|k|}^{\,-1} \sinh (r \sqrt{|k|}), &k < 0.
\end{cases}
</math>
itt ''k'' egy dimenziotlan szám, amely lehet {−1,0,+1}.

A ''k'' = 0 esetben a tér sík és így a 3 dimenziós rész a következő egyszerű alakú lesz
:<math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2.</math>
Ez kiterjeszthető a ''k'' ≠ 0 esetre is a következően 
:<math> x = r \cos \theta \,</math>,
:<math> y = r \sin \theta \cos \phi \,</math>, és
:<math> z = r \sin \theta \sin \phi \,</math>,
ahol ''r'' a radiális koordinátának tekinthető.

== A megoldás ==
{{Bővebben|Friedmann-egyenletek}}

Az [[Einstein-egyenletek]] általános alakja az alábbi

<math>G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^{4}} T_{\mu\nu}</math>

Ha az energia-impulzus tenzorról (hasonlóan a térhez) feltesszük, hogy homogén és izotrop, akkor a következő ún. 
[[Friedmann-egyenletek]]et kapjuk:
<center><math>\left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \frac{\Lambda c^{2}}{3} = \frac{8\pi G}{3}\rho</math></center>
<center><math>2\frac{\ddot a}{a} + \left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \Lambda c^{2} = -\frac{8\pi G}{c^{2}} p.</math></center>

itt ''k'' az előző részben tárgyalt dimenziótlan állandó {−1,0,+1}.

Megmutatható, hogy az egyenletek ekvivalensen átalakíthatók az alábbi alakba

<center><math>{\dot \rho} = - 3 \frac{\dot a}{a}\left(\rho+\frac{p}{c^{2}}\right)</math></center>
<center><math>\frac{\ddot a}{a} = - \frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^{2}}\right) + \frac{\Lambda c^{2}}{3}</math></center>

=== A kozmológiai konstans  ===

A kozmológiai konstans a következő helyettesítéssel kiküszöbölhető
:<math>\rho \rightarrow \rho + \frac{\Lambda c^{2}}{8 \pi G}</math>
:<math>p \rightarrow p - \frac{\Lambda c^{4}}{8 \pi G}.</math>

Tehát a kozmológiai állandó magyarázható úgy mint egyfajta energia, amelynek negatív a nyomása (de az energia sűrűsége pozitív):

:<math>p = - \rho c^2. \,</math>

Az ilyen alakban felírt kozmológiai állandót szokták [[sötét energia|sötét energiának]] nevezni.

Ahhoz, hogy a Világegyetem gyorsuló tágulását okozza elég feltenni, hogy

:<math>p < - \frac {\rho c^2} {3}. \,</math>

=== Newtoni közelítés ===

A Friedmann egyenletek newtoni közelítésben az alábbiak

:<math> - a^3 {\dot \rho} = 3 a^2 {\dot a} \rho + \frac{3 a^2 p {\dot a}}{c^2} \,</math>
:<math>\frac{{\dot a}^2}{2} - \frac{G \frac{4 \pi a^3}{3} \rho}{a} = - \frac{k c^2}{2} \,.</math>

<!--==Name and history ezt MEG LE KELL FORDITANI==

[[Alexander Friedmann]] in 1922 and 1924. Although his work was published in the prestigious physics journal [[Zeitschrift für Physik]],  [[Albert Einstein]],

Friedmann died in 1925. In 1927, [[Georges Lemaître]],  [[Edwin Hubble]]  [[Arthur Eddington]], and in 1930–31 his paper was translated into English and published in the [[Monthly Notices of the Royal Astronomical Society]].

[[Howard Percy Robertson]] from the [[United States]] (US) and [[Arthur Geoffrey Walker]] from [[Great Britain]] explored the problem further during the 1930s. In 1935 Robertson and Walker rigorously proved that the FLRW metric is the only one on a spacetime that is spatially homogeneous and isotropic (as noted above, this is a geometric result and is not tied specifically to the equations of general relativity, which were always assumed by Friedmann and Lemaître).

"Robertson-Walker". The full 4-name title is the most democratic and it is frequently used. Often the "Robertson-Walker" ''metric'', so-called since they proved its generic properties, is distinguished from the dynamical "Friedmann-Lemaître" ''models'', specific solutions for ''a(t)''
-->

== A Világegyetem Einstein sugara ==
A '''[[Világegyetem]] Einstein sugara ''' az a  [[görbületi sugár]]a a térnek amely az [[Einstein Világa]], megoldásban szerepel.

<math>\dot{a} = \ddot{a} = 0</math>

A Friedmann egyenletek esetén az Einstein sugár <math>R_E=c/\sqrt {4\pi G\rho}</math>, ahol <math>c</math> a [[fénysebesség]], <math>G</math> a [[gravitációs konstans|Newton-i gravitációs konstans]], és <math>\rho</math> a Világegyetem sűrűsége. Az Einstein sugár számértéke 10<sup>10</sup> [[fényév]].

<references/>

== További olvasásra ==

* {{citation | last=Friedman | first=Alexander | author-link=Alexander Friedman | title= Über die Krümmung des Raumes | year=1922 | journal=Zeitschrift für Physik A | volume=10 | pages=377–386 | issn=0939-7922 | doi=10.1007/BF01332580 }}<!-- Фридман, Александр Александрович -->
* {{citation | last=Friedmann | first=Alexander | author-link=Alexander Friedman | title=Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes | year=1924 | journal=Zeitschrift für Physik A | volume=21 | pages=326–332 | issn=0939-7922 | doi=10.1007/BF01328280 }}<!-- Фридман, Александр Александрович --> English trans. in 'General Relativity and Gravitation' 1999 vol.31, 31– 
* {{cite book | author=d'Inverno, Ray | title=Introducing Einstein's Relativity | url=https://archive.org/details/introducingeinst0000dinv | location=Oxford | publisher=Oxford University Press | year=1992 | isbn=0-19-859686-3}}. ''(See Chapter 23 for a particularly clear and concise introduction to the FLRW models.)''
* {{citation | last=Lemaître | first=Georges | author-link=Georges Lemaître | title=Expansion of the universe, A homogeneous universe of constant mass and increasing radius accounting for the radial velocity of extra-galactic nebulæ | year=1931 | journal=[[Monthly Notices of the Royal Astronomical Society]] | volume=91 | pages=483–490 | url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1931MNRAS..91..483L }} ''translated from'' {{citation | last=Lemaître | first=Georges | author-link=Georges Lemaître | title=Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques | year=1927 | journal=Annales de la Société Scientifique de Bruxelles | volume=A47 | pages=49–56 | url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1927ASSB...47...49L }}
* {{citation | last=Lemaître | first=Georges | author-link=Georges Lemaître | title=l’Univers en expansion | year=1933 | journal=Annales de la Société Scientifique de Bruxelles | volume=A53 | pages=51–85 }}
* {{citation | last=Robertson | first=Howard Percy | author-link=Howard Percy Robertson | year=1935 | title=Kinematics and world structure | journal=[[Astrophysical Journal]] | volume=82 | pages=284–301 | url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1935ApJ....82..284R | doi=10.1086/143681}}
* {{citation | last=Robertson | first=Howard Percy | author-link=Howard Percy Robertson | year=1936 | title=Kinematics and world structure II | journal=[[Astrophysical Journal]] | volume=83 | pages=187–201 | url=http://adsabs.harvard.edu/abs?bibcode=1936ApJ....83..187R& | doi=10.1086/143716}}
* {{citation | last=Robertson | first=Howard Percy | author-link=Howard Percy Robertson | year=1936 | title=Kinematics and world structure III | journal=[[Astrophysical Journal]] | volume=83 | pages=257–271 | url=http://adsabs.harvard.edu/abs?bibcode=1936ApJ....83..257R& | doi=10.1086/143726}}
* {{citation | last=Walker | first=Arthur Geoffrey | author-link=Arthur Geoffrey Walker | year=1937 | title=On Milne’s theory of world-structure | journal=[[Proceedings of the London Mathematical Society]] 2 | volume=42 | pages=90–127 | doi=10.1112/plms/s2-42.1.90 }}<!-- http://plms.oxfordjournals.org/content/vols2-42/issue1/index.dtl (article access requires subscription) -->

== További információk ==
* {{cite web | author=Ellis, George F. R., van Elst, Henk | title=Cosmological models (Cargèse lectures 1998)| work=arXiv.org eprint archive | url= http://arxiv.org/abs/gr-qc/9812046| accessdate=July 30, 2005 }}

{{DEFAULTSORT:Friedmann–Lemaitre–Robertson–Walker Metric}}

<!--külföldi kategóriák kommentbe, ez alapján létrehozhatóak a magyarok, ha még nincs
[[Kategória:Coordinate charts in general relativity]]
[[Kategória:Exact solutions in general relativity]]
[[Kategória:Physical cosmology]]
[[Kategória:Metric tensors]]
-->

[[Kategória:Vektor-, mátrix- és tenzoranalízis]]
<!--[[Kategória:Elméleti fizika]]-->
[[Kategória:Kozmológia]]