Descartes-féle levél forrásának megtekintése

[[Fájl:Folium of Descartes.svg|thumb|300px|right|Descartes-féle levél]]
A '''Descartes-féle levél''' egy [[algebrai görbe]], melyet az alábbi egyenlet definiál:

:<math>x^3 + y^3 - 3 a x y = 0 \,</math>.

A '''3a''' paraméter az ábrán sárga egyenesekkel berajzolt [[négyzet]] átlójának hossza. A görbe hurkot képez a derékszögű [[koordináta-rendszer]] első térnegyedében kettős ponttal az origóban és [[aszimptota|aszimptotával]], melynek egyenlete:

:<math>x + y + a = 0 \,</math>,

(az ábrán piros egyenes).
A görbe szimmetrikus az <math>y = x \,</math> egyenesre.

== Egyenletei ==
Polárkoordinátás egyenlete:
:<math> \rho = \frac {3a\cos\varphi\sin\varphi} {\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}</math>.
Paraméteres egyenletrendszere derékszögű koordináta-rendszerben:
:<math>\begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{cases}</math>, ahol <math>t=\operatorname{tg}\varphi</math>.
<!--[[Fájl:Descartes_folium3.png|thumb|200px|Elforgatott Descartes-féle levél]]-->
Gyakran vizsgálják a <math>135^\circ</math>-os szöggel elforgatott alakját. Ennek egyenlete derékszögű koordináta-rendszerben:
: <math>y=\pm x \sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}</math>, ahol <math>l=\frac{3a}{\sqrt{2}}</math>
Paraméteres egyenletrendszerrel:
: <math>x=l \frac{t^2-1}{3t^2+1},\ y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}</math>,
és polárkoordinátákkal:
: <math> \rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)} </math>

== Tulajdonságai ==
Az aszimptota egyenlete: 
:<math>x+y+a=0 \,</math>.
A levél területe:
:<math> T_1 = \frac {3a^2}{2} </math>
A görbe és az aszimptota közti terület:
:<math> T_2 = T_1 = \frac {3a^2}{2} </math>

== Források ==
* J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: ''Matematikai zsebkönyv''. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. {{ISBN|963-10-5309-1}}
* ''Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve'' 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

[[Kategória:Görbék]]