Borsuk–Ulam-tétel forrásának megtekintése

A '''Borsuk–Ulam-tétel''' azt állítja, hogy minden 
<math>\mathbb{S}^n</math>-t <math>\R^n</math>-be képező folytonos vektormezőhöz van két átellenes pont, amit a vektormező ugyanarra a vektorra képez. [[Stanisław Ulam]] sejtését [[Karol Borsuk]] látta be 1933-ban.

Speciálisan, az ''n''=2 esetét is nevezik Borsuk–Ulam-tételnek. Ezt az esetet azzal szokás szemléltetni, hogy mindig van a Földön két átellenes pont, ahol a [[hőmérséklet]] és a [[légnyomás]] is megegyezik.

==Következményei==
*<math>\mathbb{S}^n</math> nem képezhető le homeomorf módon <math>\R^n</math> egy részhalmazába sem.
*A [[sonkásszendvicstétel]]: adva legyen <math>\R^n</math>-ben ''n'' test, amik minden irányban elfelezhetők hipersíkkal. Ekkor van egy hipersík, ami mindegyiket felezi.
*[[Lusternik–Schnirelmann-tétel]]: akárhogy is fedjük le <math>\mathbb{S}^n</math>-t ''n''+1 nyílt halmazzal, mindig lesz köztük olyan, ami tartalmaz átellenes pontpárokat.
==Bizonyítás==
Tegyük fel indirekt, hogy egy ''f''(v) függvényre nem igaz a tétel, tehát előállítható a <math>\mathrm{g(x)}=\frac{\mathrm{f(x)}-\mathrm{f(-x)}}{||\mathrm{f(x)}-\mathrm{f(-x) ||}}</math> egységvektormező. Ez egy páratlan függvény. Kiterjed a peremre, ezért körülfordulási száma nulla, de mivel páratlan, ezért a körülfordulási száma sem lehet páros, ez pedig ellentmondás.

==Források==
*Szűcs András: Topológia
[[Kategória:Topológia]]