Általánosított sűrűségfüggvény

Az általánosított sűrűségfüggvény speciális tulajdonságú valós értékű függvény, ami főként a valószínűségszámításban és a mértékelméletben fordul elő, ahol mértékeket vagy előjeles mértékeket konstruálnak vele. Anélkül lehet vele mértékeket konstruálni, hogy mélyebben belenyúlnánk a mértékelméletbe. Általában a valószínűségi sűrűségfüggvényt nevezik egyszerűen sűrűségfüggvénynek.

Definíció

Adva legyen $(X,𝒜,\mu )$, és az $f:X\to ℝ$ $\mu$-kváziintegrálható függvény. Ekkor az

${\mu }_f(A):=\underset{A}{\int }f(x)\mathrm{d}\mu (x)$ minden $A\in 𝒜$ halmazra

függvény mérték, és ennek $f$ a sűrűségfüggvénye.

Megfordítva, legyenek $\mu$ és $\nu$ mértékek $(X,𝒜)$-ben. Ha

$\nu (A)=\underset{A}{\int }{f}_{\nu }(x)\mathrm{d}\mu (x)$

egy $f_{\nu }$ kváziintegrálható függvényre, és minden $A\in 𝒜$ halmazra, akkor $f_{\nu }$ a $\nu$ mérték $\mu$ mértékre vonatkozó sűrűségfüggvénye. Ezt a függvényt nevezik Radon-Nikodým-deriváltnak és Radon-Nikodým-sűrűségnek is, és úgy jelölik, mint $\frac{\mathrm{d}\nu }{\mathrm{d}\mu }$.

Előjeles mértékek esetén a definíció hasonló, de a pozitív tulajdonság mellőzésével.

Példák

Valószínűségi sűrűségfüggvény

Az általánosított sűrűségfüggvényekre példa a valószínűségi sűrűségfüggvény. Itt a mérték a $\lambda$ Lebesgue-mérték és a Lebesgue-integrál mértéke, ahol is az alaptér mértéke egy. Egy $f_P$ függvény megadása egyszerű lehetőség a valószínűségi mérték definiálására:

$P(A)=\underset{A}{\int }{f}_P(x)\mathrm{d}\lambda (x)$

Az így definiálható valószínűségi mértékek abszolút folytonos valószínűségi mértékek. Lehetővé teszik az elemi hozzáférést a valószínűségszámításhoz, gyakran a Lebesgue-integrál alkalmazásáról is lemondanak, megelégednek a Riemann-integrállal. Ekkor a jelölés $\mathrm{d}\lambda (x)$ helyett $\mathrm{d}x$.

Számsűrűség

A sűrűségfüggvény további példái a számsűrűségek, amiket valószínűségi függvényeknek is neveznek. A legegyszerűbb esetben minden természetes számhoz egy nemnegatív számot rendelnek:

$f:\mathbb{N}\to [0,\mathrm{\infty })$.

Az összes függvényérték összege egy, és valószínűségek definiálhatók hozzájuk:

$P(\{k\}):=f(k)$

amik egy diszkrét valószínűségi eloszlás valószínűségei. Ha $\mu$ a számossági mérték $\mathbb{N}$-en, akkor

$P(A)=\sum _{k\in A}f(k)=\underset{A}{\int }f(k)\mathrm{d}\mu (k)$.

Ezzel a számsűrűség sűrűségfüggvény a számosságra nézve.

Létezés

Definíció szerint minden pozitív kváziintegrálható függvény, mérték páros meghatároz egy újabb mértéket, ami sűrűségfüggvényt vezet be.

Két mérték esetén adódik a kérdés, hogy ha $\mu ,\nu$ mérték, és $\nu$ abszolút folytonos a $\mu$ mértékre, akkor létezik-e sűrűségfüggvénye a $\nu$ mértéknek a $\mu$ mértékre vonatkozóan, vagy fordítva. Ennek a kérdésnek az első felét a Radon-Nikodým-tétel igenlően válaszolja meg.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book