Többdimenziós valószínűségeloszlás

A valószínűségszámításban a többdimenziós eloszlás egy valószínűségi vektorváltozó eloszlása, azaz egy ${ℝ}^n$-beli értékeket felvevő valószínűségi változó eloszlása. Egy $X=(X_1,\dots ,X_n)$ valószínűségi vektorváltozó eloszlása is mérhető halmazokhoz rendeli a valószínűségeket, de ezek ${ℝ}^n$-beliek. Minden $A\subseteq {ℝ}^n$ mérhető halmaznak van valószínűsége, ami megadja, hogy $X$ értéke mekkora eséllyel esik ebbe a részhalmazba. Az $X$ egyes $X_i$ koordinátáinak eloszlását peremeloszlásnak nevezzük. A többdimenziós eloszlásra példa a multinormális eloszlás, más néven a többdimenziós normális eloszlás.

Bevezető példa

Tekintjük a következő két kísérletet:

1. Szabályos dobókockával dobunk kétszer, vagy ezzel ekvivalensen egy urnakísérlet, ahol is a számozott golyót visszatesszük. A lehetséges kimenetelek száma 36, és mivel egyformán valószínűek, mindegyik esélye 1/36.

2. Urnakísérlet számozott golyókkal, de a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Emiatt az (1,1),(2,2),…,(6,6) kimenetelek nem fordulnak elő, így a többi 30 kimenetel valószínűsége egyenként 1/30.

Jelölje rendre a két valószínűségi vektorváltozót $Z_1$ és $Z_2$. Ezek peremeloszlásai ugyanazok, mind a hat szám ugyanazzal az 1/6 valószínűséggel fordul elő.

Az első kísérletben a két húzás egymástól független, mivel a kihúzott golyót visszatesszük, de a másodikban már nem, mivel másodjára nem jöhet ki ugyanaz a szám, pedig függetlenség esetén 1/36 lenne a valószínűségük, ami a peremeloszlások valószínűségének szorzata. De a (1,1),(2,2),…,(6,6) párok valószínűsége nulla.

Emiatt habár a peremeloszlások ugyanazok, a $Z_1$ és $Z_2$ valószínűségi változók különböző eloszlásúak.

Két dimenzióban

10000 szúrópróba egy Clayton-kopulával modellezett eloszlásból, ahol $\alpha =2,88$. Az eloszlás peremeloszlásai normális eloszlásúak

Egy kétdimenziós $Z=(X,Y)$ valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye:

$F_Z(x,y)=P(X\le x,Y\le y).$

Ha a $Z=(X,Y)$ valószínűségi vektorváltozó kétdimenziós sűrűségfüggvénye $f_{X,Y}$, akkor az eloszlásfüggvény:

$F_Z(x,y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{y}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{f}_{X,Y}(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$.

Ha az eloszlás diszkrét, akkor a közös eloszlás feltételes valószínűségekkel:

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}(X=x,Y=y)& =\mathrm{P}(Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm{P}(X=x)\\ & =\mathrm{P}(X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm{P}(Y=y)\end{array}$

Folytonos esetben

$f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_X(x)=f_{X|Y}(x|y)f_Y(y)$

Itt $f_{Y|X}(y|x)$ és $f_{X|Y}(x|y)$ feltételes sűrűségfüggvények, azaz a megfelelő feltételes valószínűségi változók sűrűségfüggvényei. A feltételes valószínűségi változók: $Y$ feltéve $X=x$, és $X$ feltéve $Y=y$. Az $f_X(x),f_Y(y)$ függvények rendre $X$ és $Y$ peremeloszlásai.

Az ábrán a koordináták közötti összefüggést kopulák jelzik. A bemutatott eloszlás példa arra, hogy ha a peremeloszlások normálisak, akkor az eloszlás nem biztos, hogy normális.

Általános eset

Ha az n-dimenziós $Z=(X_1,\dots ,X_n)$ valószínűségi vektorváltozónak van sűrűségfüggvénye, akkor az eloszlásfüggvény a kétdimenziós esethez hasonlóan

$F_Z(x_1,\dots ,x_n)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_n}{\int }}\dots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_1}{\int }}{f}_{X_1,\dots ,X_n}(u_1,\dots ,u_n)\mathrm{d}{u}_1\dots \mathrm{d}{u}_n$.

A dimenziók növekedéséveol több lehetőség adódik peremeloszlásokra, minden $1\le k<n$ alacsonyabb dimenzióhoz létezik $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ peremeloszlás. Például három dimenzióban három egyváltozós és három kétváltozós peremeloszlás van.

Független valószínűségi változók közös eloszlása

Ha a diszkrét X és Y valószínűségi változókra minden x és y esetén teljesül, hogy $P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$, akkor függetlenek.

Hasonlóan, ha folytonos X és Y valószínűségi változókra minden x és y esetén teljesül, hogy $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$, akkor függetlenek.

Források

• K. V. Mardia, J. T. Kent, J. M. Bibby: Multivariate Analysis. Acad. Press, New York 1979, Sablon:ISBN. (engl.)
• Ludwig Fahrmeir, Alfred Hamerle (Hrsg.): Multivariate statistische Verfahren. de Gruyter, New York 1996, Sablon:ISBN.
• Joachim Hartung, Bärbel Elpelt: Multivariate Statistik. Oldenbourg, München/ Wien 1999, Sablon:ISBN.