Taylor-tétel

A kalkulusban a Taylor-tétel egy módszert ad arra miként lehet közelítést adni egy n-ed fokú polinommal bármely függvényre egy tetszőlegesen kiválasztott "a" kezdőpontból kiindulva. A kezdőponttól távolodva a közelítés egyre pontatlanabb lesz, a pontatlanság mértékére egy R maradéktagból következtethetünk.

Taylor tétel egyváltozós valós értékekre

Ha az $f$függvény "$n$"-szer differenciálható az "$a$" pontban" akkor:

$f_{\left(x\right)}=f_{\left(a\right)}+(x-a)\cdot f_{\left(a\right)}^{\text{'}}+...+\frac{{(x-a)}^n}{n!}\cdot f_{\left(a\right)}^{n^{\prime }}+R$

Az $R$ maradék egzakt "Integrál" alakja: $R=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{{(x-y)}^n\cdot f_{\left(y\right)}^{(n+1)}}{n!}dy$

a maradék középértékes "Lagrange" féle alakja: $R=\frac{{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1^{\prime }}$ ahol "$c$" az ($a$,$x$) intervallumon belül van valahol.

a maradék középértékes "Cauchy" féle alakja: $R=\frac{{(x-c)}^n\cdot (x-a)}{n!}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1^{\prime }}$, ahol "$c$" az ($a$,$x$) intervallumon belül van valahol.

Bizonyítás

Legyen az F függvény meghatározva így: $F_{\left(y\right)}=f_{\left(y\right)}+(x-y)\cdot f_{\left(y\right)}^{\text{'}}+...+\frac{{(x-y)}^n}{n!}\cdot f_{\left(y\right)}^{n^{\prime }}$

A függvény "a" és "x" pontbeli értékeiből adódik: $f_{\left(x\right)}=f_{\left(a\right)}+(x-a)\cdot f_{\left(a\right)}^{\text{'}}+...+\frac{{(x-a)}^n}{n!}\cdot f_{\left(a\right)}^{n^{\prime }}+(F_{\left(x\right)}-F_{\left(a\right)})$

A függvény deriváltjaként $F_{\left(y\right)}^{\text{'}}=\left[\cancel{f_{\left(y\right)}^{\text{'}}}\right]+[\cancel{-1\cdot f_{\left(y\right)}^{\text{'}}}+\cancel{(x-y)\cdot f_{\left(y\right)}^{{\text{'}}^{\prime }}}]+...+[\cancel{-\frac{{(x-y)}^{n-1}}{(n-1)!}\cdot f_{\left(y\right)}^{n^{\prime }}}+\frac{{(x-y)}^n}{n!}\cdot f_{\left(y\right)}^{n+1^{\prime }}]$

egyszerűsítés után egy rövidebb formát kapunk: $F_{\left(y\right)}^{\text{'}}=\frac{{(x-y)}^n}{n!}\cdot f_{\left(y\right)}^{n+1^{\prime }}$

vagyis F kifejezhető a következő határozatlan integrállal is: $F_{\left(y\right)}=\int \frac{{(x-y)}^n\cdot f_{\left(y\right)}^{(n+1)}}{n!}dy$

amit a fentiekbe behelyettesítve: kapjuk a Taylor tétel Integtrál alakját:

$f_{\left(x\right)}=f_{\left(a\right)}+(x-a)\cdot f_{\left(a\right)}^{\text{'}}+...+\frac{{(x-a)}^n}{n!}\cdot f_{\left(a\right)}^{n^{\prime }}+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{{(x-y)}^n\cdot f_{\left(y\right)}^{(n+1)}}{n!}dy$

Lagrange féle maradék

A Cauchy-féle középértéktételt $F_{\left(x\right)}-F_{\left(a\right)}=(G_{\left(x\right)}-G_{\left(a\right)})\cdot \frac{F_{\left(c\right)}^{\text{'}}}{G_{\left(c\right)}^{\text{'}}}$alkalmazva az $F_{\left(y\right)}$ és $G_{\left(y\right)}={(x-y)}^{n+1}$ függvényekre :

$R=F_{\left(x\right)}-F_{\left(a\right)}=(0-{(x-a)}^{n+1})\cdot \frac{\frac{{(x-c)}^n}{n!}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1^{\prime }}}{-(n+1)\cdot {(x-c)}^n}=\frac{{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1^{\prime }}$

kapjuk a Lagrange féle maradékot: $R=\frac{{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1^{\prime }}$ahol "$c$" az ($a$,$x$) intervallumon belül van valahol, a középértéktételből adódóan.

Cauchy féle maradék

A Cauchy-féle középértéktételt alkalmazva az $F_{\left(y\right)}$ és $G_{\left(y\right)}=(x-y)$ függvényekre hasonlóan számolva mint a Lagrange maradéknál,

kapjuk a Cauchy féle maradékot: $R=\frac{{(x-c)}^n\cdot (x-a)}{n!}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1^{\prime }}$ahol "$c$" az ($a$,$x$) intervallumon belül van valahol, a középértéktételből adódóan.

A maradék közelítő értéke

A Cauchy-féle középértéktételt $F_{\left(x\right)}-F_{\left(a\right)}=(G_{\left(x\right)}-G_{\left(a\right)})\cdot \frac{F_{\left(c\right)}^{\text{'}}}{G_{\left(c\right)}^{\text{'}}}$alkalmazva az $F_{\left(y\right)}$ és $G_{\left(y\right)}=f_{\left(y\right)}^{n^{\prime }}$ függvényekre az (a,x) intervallumon:

$R=F_{\left(x\right)}-F_{\left(a\right)}=(f_{\left(x\right)}^{n^{\prime }}-f_{\left(a\right)}^{n^{\prime }})\cdot \frac{\frac{{(x-c)}^n}{n!}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1^{\prime }}}{f_{\left(c\right)}^{n+1^{\prime }}}=\frac{{(x-c)}^n}{n!}\cdot (f_{\left(x\right)}^{n^{\prime }}-f_{\left(a\right)}^{n^{\prime }})$

kapjuk a maradék egy más fajta alakját:

$R=\frac{{(x-c)}^n}{n!}\cdot (f_{\left(x\right)}^{n^{\prime }}-f_{\left(a\right)}^{n^{\prime }})$

mejnek segítségvel megadható a maradék közelítő értéke amikor "$n$" tart a végtelenbe és $f_{\left(x\right)}^{n-\epsilon +1^{\prime }},f_{\left(x\right)}^{n+1^{\prime }},f_{\left(x\right)}^{n+\epsilon +1^{\prime }}\ne 0$ az (a,x) intervallumon:

$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{\frac{1}{\sum _{i=n+1}^{n+\epsilon }\frac{{(x-a)}^i\cdot f_{\left(a\right)}^{i^{\prime }}}{i!}}-\frac{1}{\sum _{i=n-\epsilon +1}^n\frac{{(x-a)}^i\cdot f_{\left(a\right)}^{i^{\prime }}}{i!}}}$ ahol $\epsilon =1,2...$ Sablon:Authority control