Shapiro-egyenlőtlenség

A Shapiro-egyenlőtlenség egy egyenlőtlenség, melyet Harold Shapiro vetett fel 1954-ben.

Az egyenlőtlenség állítása

Amennyiben n páros és legfeljebb 12 vagy n páratlan és legfeljebb 23, akkor:

$\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}\ge \frac{n}{2}$,

ahol $x_{n+1}=x_1,x_{n+2}=x_2$.

A probléma eredeti felvetése nagyobb n-eket is megengedett, ám ezekre az állítás nem igaz, az alsó határ pedig $\gamma \frac{n}{2}$, ahol $\gamma \approx 0.9891\dots$.

Az n = 12 (Godunova és Levin, 1976) és n = 23 (Troesch, 1989)-re adott eredeti bizonyítások számolásokon alapulnak, de 2002-ben P.J. Bushell és J.B. McLeod adott az n = 12 esetre egy analitikus bizonyítást.

A γ értékét Vladimir Drinfeld határozta meg 1971-ben. Pontosabban, Drinfeld bemutatta, miszerint γ-t a $\frac{1}{2}\psi (0)$ adja meg, ahol ψ a konvex burokfüggvénye az f(x) = e^-x és $g(x)=\frac{2}{e^x+e^{\frac{x}{2}}}$ függvények együttesének (azaz a ψ fölötti terület f és g konvex burka).

Igazak továbbá azon állítások, hogy f(x₁,x₂,...,x_n)-nel jelölve a fenti egyenlőtlenség bal oldalát, f(x₁,x₂,...,x_n)+f(x_n,x_n-1, ..., x₁) $\ge$n, továbbá az eredeti egyenlőtlenség is igaz monoton x_i-sorozatokra.

Ellenpéldák nagyobb n-ekre

Az első ellenpéldát Lighthill találta meg 1956-ban, n = 20-ra:

$x_{20}=(1+5ϵ,6ϵ,1+4ϵ,5ϵ,1+3ϵ,4ϵ,1+2ϵ,3ϵ,1+ϵ,2ϵ,1+2ϵ,ϵ,1+3ϵ,2ϵ,1+4ϵ,3ϵ,1+5ϵ,4ϵ,1+6ϵ,5ϵ)$ ahol $ϵ$ elég közel van 0-hoz.

Ekkor a bal oldal $10-{ϵ}^2+O({ϵ}^3)$, így kisebb 10-nél, ha $ϵ$ elég kicsi.

Ellenpélda n = 14-re Troesch által (1985):

$x_{14}$ = (0, 42, 2, 42, 4, 41, 5, 39, 4, 38, 2, 38, 0, 40) (Troesch, 1985).

Ellenpélda n=25-re:

$x_{25}$ = (32, 0, 37, 0, 43, 0, 50, 0, 59, 8, 62, 21, 55, 29, 44, 32, 33, 31, 24, 30, 16, 29, 10, 29, 4)

Fordítás

• Sablon:Fordítás

Források

• A. Khrabrov: Shapiro's inequality