Schläfli-szimbólum

A geometriában a Schläfli-szimbólum sokszögeket, poliédereket és magasabb dimenziós politópokat, parkettázásokat, térkitöltéseket ír le. A svájci Ludwig Schläfli után nevezték el.

Alakja $\{p,q,r,\dots \}$, ahol, ha $p$ egész, akkor egy megfelelő oldalszámú sokszöget jelöl. Ha tört, akkor egy csillagsokszöget jellemez, ahol a számláló a csúcsok számát, a nevező pedig azt adja meg, hogy körbemenve hányadik pontokat kell összekötni.

A Schläfli-szimbólumban szereplő számok sorrendjének megfordítása az eredetileg leírt objektum duálisát írja le.

Definíció

A Schläfli-szimbólum egy rekurzív leírás, ami a $\left\{p\right\}$ sokszögből indul ki. A $\{p,q\}$ szimbólumban q azt adja meg, hogy a p sokszögből hány találkozik egy csúcsban. Ha egy négy dimenziós politópban minden él körül r $\{p,q\}$ szimbólumú poliéder találkozik, akkor Schläfli-szimbóluma $\{p,q,r\}$, és így tovább. A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.

A $\{p,q,r,...,y,z\}$ szabályos politóp lapjának Schläfli-szimbóluma $\{p,q,r,\dots ,y\}$. Ugyanennek a poliédernek a csúcsalakzata $\{q,r,\dots ,y,z\}$.

A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.

A szimbólum reprezentálhat véges sokszöget, poliédert, politópot, vagy euklideszi vagy hiperbolikus szabályos parkettát vagy térkitöltést a defektusátólSablon:Jegyzet* függően. Ha a defektus pozitív, akkor lapok felhajtogathatók az eggyel magasabb dimenziós térbe, így politópot alkothatnak. A nulla defektus azt jelzi, hogy az illeszkedő lapok kitöltik az adott dimenziójú euklideszi teret. A negatív defektus nem lehetséges az euklideszi térben, de a hiperbolikus térben már igen.

A csúcsalakzatot többnyire véges politópnak fogják fel, de néha érdemesebb parkettázásnak vagy térkitöltésnek tekinteni.

A szabályos politópok duálisainak Schläfli-szimbóluma megegyezik az eredeti Schläfli-szimbólum megfordításával. Az önduális politópok Schläfli-szimbóluma így szimmetrikus.

Szimmetriacsoportok

A Schläfli-szimbólum szorosan kapcsolódik az azonos indexű tükörszimmetrikus csoportokhoz, amelyeket Coxeter-csoportoknak is neveznek, és szögletes zárójelbe tesznek. Így a [3,3] Coxeter-csoport a tetraéder, a [3,4] az oktaéder, és [3,5] az ikozaéder tükörszimmetriái által generált csoport jele.

Példák

Sokszögek és csillagsokszögek

$\left\{n\right\}$ egy $n$-szög.

$\{5/2\}$ a pentagramma .

$\{7/2\}$ és $\{7/3\}$ rendre a és heptagrammák jele.

Mindezek az alakzatok önduálisak.

Szabályos testek

A szabályos testek Schläfli-szimbólumai: $\{3,3\}$ az önduális tetraéder.

$\{3,4\}$ az oktaéder, a megfordított $\{4,3\}$ az oktaéder duálisa, a kocka.

$\{3,5\}$ az ikozaéder, a megfordított $\{5,3\}$ az ikozaéder duálisa, a dodekaéder.

Platóni parketták

$\{3,6\}$ a háromszögparketta, az $\{6,3\}$ inverz ennek a duálisa, a hatszögparketta.

$\{4,4\}$ az önduális négyzetparketta.

Kepler-Poinsot-testek

A Kepler-Poinsot-testek Schläfli-szimbólumai: $\{3,5/2\}$ a nagy ikozaédert, az $\{5/2,3\}$ inverziója a duálisát, a nagy csillagdodekaédert írja le.

$\{5,5/2\}$ a nagy dodekaédert, az $\{5/2,5\}$ inverzió a duálisát, a kis csillagdodekaédert jellemzi.

Négy dimenziós szabályos politópok

$\{3,3,3\}$ a pentakhoron,

$\{4,3,3\}$ a tesszerakt (négy dimenziós hiperkocka), $\{3,3,4\}$ duálisa pedig a hexadekakhor néven is ismert szabályos 16-cellát jellemzi.

$\{3,4,3\}$ az önduális szabályos 24-cella, másként az ikozitetrakhor.

$\{5,3,3\}$ a 120-cella, $\{3,3,5\}$ inverziója a szabályos 600-cella.

Magasabb dimenzióban

Magasabb dimenzióban a politóp Schläfli-szimbóluma {p₁, p₂, ..., p_n − 1}, ha lapjainak Schläfli-szimbóluma {p₁,p₂, ..., p_n − 2}, és csúcsalakzatának Schläfli-szimbóluma {p₂,p₃, ..., p_n − 1}.

Egy szabályos politóp lapjának csúcsalakzata és csúcsalakzatának lapja ugyanaz: {p₂,p₃, ..., p_n − 2}.

Négynél magasabb dimenzióban dimenziónként három szabályos politóp van: {3,3,3,...,3} a szimplex; {3,3, ..., 3,4} a keresztpolitóp; és {4,3,3,...,3} a hiperkocka. Konkáv szabályos politópok nincsenek ezekben a dimenziókban.

Uniform prizmák

Az uniform prizmák alacsonyabb dimenziós szabályos politópok Descartes-szorzatai:

• p-gonális prizma: a p.4.4 csúcsalakzatú politóp definiálható, mint { } × {p}, ahol { } a szakasz.
• {p,q}-éderes prizma: a { } × {p,q} szorzat.
• p-q duoprizma: {p} × {q}.

Általánosításai

Coxeter a kváziszabályos poliéderekre is kiterjesztette a Schläfli-szimbólumot a csúcsok dimenziójának jelölésével. Ez lett a még általánosabb Coxeter-Dynkin diagram kiindulópontja. Norman Johnson egyszerűsítette a jelölést azzal, hogy a csúcsszimbólumokra bevezette az r prfixet. A t jelölés a legáltalánosabb, és közvetlenül megfelel a Coxeter-Dynkin diagram gyűrűinek. Mindegyik szimbólumnak van alternációja, ahol a Coxeter-Dynkin diagramon a gyűrűket lyukak helyettesítik a h prefixszel. Ez a változtatás csak bizonyos feltételekkel vihető végbe.

Forma	Kiterjesztett Schläfli-szimbólumok			Szimmetria	Coxeter-diagram		Példa: {4,3}
Szabályos	$\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}$	{p,q}	t0{p,q}	[p,q] vagy [(p,q,2)]	Sablon:CDD			Kocka	Sablon:CDD
Csonkított	$t\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}$	t{p,q}	t0,1{p,q}		Sablon:CDD			Csonkított kocka	Sablon:CDD
Bicsonkítás (Csonkított duális)	$t\left\{\begin{array}{c}q,p\end{array}\right\}$	2t{p,q}	t1,2{p,q}		Sablon:CDD	Sablon:CDD		Csonkított oktaéder	Sablon:CDD
Rektifikált (Kváziszabályos)	$\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$	r{p,q}	t1{p,q}		Sablon:CDD	Sablon:CDD		Kuboktaéder	Sablon:CDD
Birektifikáció (Szabályos duális)	$\left\{\begin{array}{c}q,p\end{array}\right\}$	2r{p,q}	t2{p,q}		Sablon:CDD	Sablon:CDD		Oktaéder	Sablon:CDD
Cantellated (A rektifikált rektifikáltja)	$r\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$	rr{p,q}	t0,2{p,q}		Sablon:CDD	Sablon:CDD		Rombikuboktaéder	Sablon:CDD
Élcsonkított (A csonkított rektifikáltja)	$t\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$	tr{p,q}	t0,1,2{p,q}		Sablon:CDD	Sablon:CDD		Csonkított kuboktaéder	Sablon:CDD
Alternációk
Alternált szabályos (p páros)	$h\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}$	h{p,q}	ht0{p,q}	[1+,p,q]	Sablon:CDD			Demikocka (Tetraéder)	Sablon:CDD
Snub szabályos (q páros)	$s\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}$	s{p,q}	ht0,1{p,q}	[p+,q]	Sablon:CDD
Snub duális szabály (p páros)	$s\left\{\begin{array}{c}q,p\end{array}\right\}$	s{q,p}	ht1,2{p,q}	[p,q+]	Sablon:CDD	Sablon:CDD		Snub oktaéder (Ikozaéder)	Sablon:CDD
Alternált duális szabályos (q páros)	$h\left\{\begin{array}{c}q,p\end{array}\right\}$	h{q,p}	ht2{p,q}	[p,q,1+]	Sablon:CDD	Sablon:CDD
Alternált rektifkált (p és q is páros)	$h\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$	hr{p,q}	ht1{p,q}	[p,1+,q]	Sablon:CDD	Sablon:CDD
Alternált rektifikált rektifikált (p és q is páros)	$hr\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$	hrr{p,q}	ht0,2{p,q}	[(p,q,2+)]	Sablon:CDD	Sablon:CDD
Quarter (p és q is páros)	$q\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$	q{p,q}	ht0ht2{p,q}	[1+,p,q,1+]	Sablon:CDD	Sablon:CDD
Snub rektifikált Snub kváziszabályos	$s\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$	sr{p,q}	ht0,1,2{p,q}	[p,q]+	Sablon:CDD	Sablon:CDD		Snub kuboktaéder (Snub kocka)	Sablon:CDD

Négy dimenzióban

Linear families

Forma	Kiterjesztett Schläfli-szimbólum			Coxeter-diagram		Példa, {4,3,3}
Szabályos	$\left\{\begin{array}{c}p,q,r\end{array}\right\}$	{p,q,r}	t0{p,q,r}	Sablon:CDD			Tesszerakt	Sablon:CDD
Csonkított	$t\left\{\begin{array}{c}p,q,r\end{array}\right\}$	t{p,q,r}	t0,1{p,q,r}	Sablon:CDD			Csonkított tesszerakt	Sablon:CDD
Rektifikált	$\left\{\begin{array}{c}p\\ q,r\end{array}\right\}$	r{p,q,r}	t1{p,q,r}	Sablon:CDD			Rektifikált tesszerakt	Sablon:CDD = Sablon:CDD
Bicsonkított		2t{p,q,r}	t1,2{p,q,r}	Sablon:CDD			Bicsonkított tesszerakt	Sablon:CDD
Birektifikált (rektifikált duális)	$\left\{\begin{array}{c}q,p\\ r\end{array}\right\}$	2r{p,q,r} = r{r,q,p}	t2{p,q,r}	Sablon:CDD			Rektifikált 16-cella	Sablon:CDD = Sablon:CDD
Tricsonkított (Csonkított duális)	$t\left\{\begin{array}{c}r,q,p\end{array}\right\}$	3t{p,q,r} = t{r,q,p}	t2,3{p,q,r}	Sablon:CDD			Bicsonkított tesszerakt	Sablon:CDD
Trirektifikált (Dual)	$\left\{\begin{array}{c}r,q,p\end{array}\right\}$	3r{p,q,r} = {r,q,p}	t3{p,q,r} = {r,q,p}	Sablon:CDD			16-cella	Sablon:CDD
Cantellált	$r\left\{\begin{array}{c}p\\ q,r\end{array}\right\}$	rr{p,q,r}	t0,2{p,q,r}	Sablon:CDD			Cantellált tesszerakt	Sablon:CDD = Sablon:CDD
Élcsonkított	$t\left\{\begin{array}{c}p\\ q,r\end{array}\right\}$	tr{p,q,r}	t0,1,2{p,q,r}	Sablon:CDD			Élcsonkított tesszerakt	Sablon:CDD = Sablon:CDD
Runcinált (kiterjesztett)	$e\left\{\begin{array}{c}p,q,r\end{array}\right\}$	e{p,q,r}	t0,3{p,q,r}	Sablon:CDD			Runcinált tesszerakt	Sablon:CDD
Runcicsonkított			t0,1,3{p,q,r}	Sablon:CDD			Runcicsonkított tesszerakt	Sablon:CDD
Omnicsonkított			t0,1,2,3{p,q,r}	Sablon:CDD			Omnicsonkított tesszerakt	Sablon:CDD
Alternációk
Fél p páros	$h\left\{\begin{array}{c}p,q,r\end{array}\right\}$	h{p,q,r}	ht0{p,q,r}	Sablon:CDD			16-cella	Sablon:CDD
Negyed p és r páros	$q\left\{\begin{array}{c}p,q,r\end{array}\right\}$	q{p,q,r}	ht0ht3{p,q,r}	Sablon:CDD
Snub q páros	$s\left\{\begin{array}{c}p,q,r\end{array}\right\}$	s{p,q,r}	ht0,1{p,q,r}	Sablon:CDD			Snub 24-cella	Sablon:CDD
Snub rectifikált r páros	$s\left\{\begin{array}{c}p\\ q,r\end{array}\right\}$	sr{p,q,r}	ht0,1,2{p,q,r}	Sablon:CDD			Snub 24-cella	Sablon:CDD = Sablon:CDD
Alternált omnicsonkítás			ht0,1,2,3{p,q,r}	Sablon:CDD			Nagy duoantiprizma	Sablon:CDD

Bifurkáló családok

Forma	Kiterjesztett Schläfli-szimbólum			Coxeter-diagram		Példák
Kváziszabályos	$\{p,\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{q}\}$	{p,q1,1}	t0{p,q1,1}	Sablon:CDD			16-cella	Sablon:CDD
Csonkított	$t\{p,\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{q}\}$	t{p,q1,1}	t0,1{p,q1,1}	Sablon:CDD			Csonkított 16-cella	Sablon:CDD
Rektifikált	$\left\{\begin{array}{c}p\\ q\\ q\end{array}\right\}$	r{p,q1,1}	t1{p,q1,1}	Sablon:CDD			24-cella	Sablon:CDD
Cantellált	$r\left\{\begin{array}{c}p\\ q\\ q\end{array}\right\}$	rr{p,q1,1}	t0,2,3{p,q1,1}	Sablon:CDD			Cantellált 16-cella	Sablon:CDD
Élcsonkított	$t\left\{\begin{array}{c}p\\ q\\ q\end{array}\right\}$	tr{p,q1,1}	t0,1,2,3{p,q1,1}	Sablon:CDD			Élcsonkított 16-cella	Sablon:CDD
Snub rectifikált	$s\left\{\begin{array}{c}p\\ q\\ q\end{array}\right\}$	sr{p,q1,1}	ht0,1,2,3{p,q1,1}	Sablon:CDD			Snub 24-cella	Sablon:CDD
Kváziszabályos	$\{r,\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{q}\}$	{r,/q\,p}	t0{r,/q\,p}	Sablon:CDD				Sablon:CDD
Csonkított	$t\{r,\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{q}\}$	t{r,/q\,p}	t0,1{r,/q\,p}	Sablon:CDD				Sablon:CDD
Rektifikált	$\left\{\begin{array}{c}r\\ p\\ q\end{array}\right\}$	r{r,/q\,p}	t1{r,/q\,p}	Sablon:CDD				Sablon:CDD
Cantellált	$r\left\{\begin{array}{c}r\\ p\\ q\end{array}\right\}$	rr{r,/q\,p}	t0,2,3{r,/q\,p}	Sablon:CDD				Sablon:CDD
Élcsonkított	$t\left\{\begin{array}{c}r\\ p\\ q\end{array}\right\}$	tr{r,/q\,p}	t0,1,2,3{r,/q\,p}	Sablon:CDD				Sablon:CDD
snub rektifikált	$s\left\{\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right\}$	sr{p,/q,\r}	ht0,1,2,3{p,/q\,r}	Sablon:CDD				Sablon:CDD

Források

• Coxeter: Regular Polytopes (pp. 14, 69, 149) [1]
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, Sablon:ISBN
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

Fordítás

• Sablon:Fordítás
• Sablon:Fordítás