Rögzített csomópontú integrálás

A numerikus analízisben azok az eljárások, amelyek esetén az optimalizálás kizárólag a $w_i$ súlyok által történik. Polinomiális interpolációra alapozott integrálási módszerek vagy egyenlő közű csomópontok módszerei. Lényegében az $(a,b)$ intervallumot egyenlő részekre osztjuk úgy, hogy $x_i=a+id$, ahol $d=(b-a)/n$.

Lagrange-féle interpolációs módszer

A módszer lényege abban áll, hogy a primitív függvénnyel nem rendelkező ƒ(x) függvényt megközelítjük a Lagrange-féle interpolációs polinommal, melynek primitív függvényét könnyen ki tudjuk értékelni.

$I_n(x)=\sum _{i=0}^n{f}_i\prod _{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}=\sum _{i=0}^n{l}_i(x)f_i\approx f(x)$

Egy $n$-ed fokú polinomtól megkívánható, hogy áthaladjon az $n+1$ darab $x_i$ ponton. Az $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^n{w}_i{f}_i$ ból következik, hogy $w_i=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{l}_i(x)dx$.

A Lagrange-interpolációs módszer tökéletes pontosságú megközelítést biztosít, amennyiben $f(x)\in \prod _n$.

Innen következik, hogy $f(x)$-nek az $I_n(x)$ polinommal való közelítése egzakt, ha az $x_i,f_i$ értékpárok egy $n$ vagy annál kisebb fokú polinom behelyettesítési értékeinek kiszámításából származnak.

Ismeretlen együtthatók módszere

Megfordítva a gondolatmenetet, kimutatható, hogy amennyiben a $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^n{w}_i{f}_i$ közelítés egzakt minden olyan polinomra, melynek foka ≤ n, akkor az együtthatókra fennáll $w_i=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{l}_i(x)dx$.

Ezt könnyen igazolhatjuk, figyelembe véve, hogy $l_i(x)\in \prod _n$ és ugyanakkor a $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{l}_i(x)=\sum _{j=0}^n{w}_j{l}_i(x_j)=w_i,$ összefüggéseket. Ennek következményeképpen, ha megköveteljük, hogy az $f(x)=1,x,x^2,...,x^n$ elemi polinomokra, melyek kifeszítik a teret, egzaktul fennálljon $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^n{w}_i{f}_i$, akkor az $n+1$ darab $w_i$-re felírt lineáris egyenlet megoldásaként megkapjuk a keresett együtthatókat.

Példaképpen vegyük a hárompontos integrálási képlet esetét, melytől elvárjuk, hogy egzakt eredményt adjon minden ≤2 fokú polinomra. A képletet a

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx\approx w_{0}f(0)+w_{1}f(\frac{1}{2})+w_{2}f(1),$

alakban írjuk fel. Az $f(x)=1,x$ és $x^2$ próbafüggvényeket használva. Az így keletkezett egyenletrendszer megoldása $w_0=1/6,w_1=2/3,w_2=1/6$. Az integrálási összegképlet linearitása folytán pontos értéket kapunk minden, $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$ alakú polinomra.

Általános esetben, az $[a,b]$ intervallumon történő integrálás $n+1$ pontban vett kvadratúra segítségével való megközelítésekor, az együtthatókat a következő lineáris egyenletrendszer megoldása szolgáltatja:

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \dots & 1\\ x_0& x_1& x_2& & x_n\\ x_0^2& x_1^2& x_2^2& \dots & x_n^2\\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮\\ x_0^n& x_1^n& x_2^n& \dots & x_n^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{w}_0\\ w_1\\ w_2\\ ⋮\\ w_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{F}_0(b)-F_0(a)\\ F_1(b)-F_1(a)\\ F_2(b)-F_2(a)\\ ⋮\\ F_n(b)-F_n(a)\end{array}\right)$

ahol $F_k(x)=x^{k+1}/(k+1)$.

Intervallumcsere

Minden esetben a $w_i$ együtthatók értékei függnek az integrálási tartomány $a$ és $b$ végpontjaitól. Viszont kényelmetlen lenne egy lineáris egyenletrendszert megoldani minden olyan esetben, amikor változnak az integrálási határok. Célunk tehát egy tetszőleges $[a,b]$ intervallumon megközelíteni egy integrált, melynek kvadratúraképlete előzőleg már ismert egy másik $[c,d]$ tartomány esetén, mégpedig:

$\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(t)dt\approx \sum _{i=0}^n{w}_{i}f(t_i).$

Legyen a megközelítés pontos bármely $f(x)\in \prod _m$. Bár az előbbiekben mindenütt fennállt az $m=n$ egyenlőség, ez nem általános érvényű szabály. $m$ lehet kisebb mint $n$, és mint a következő részben látni fogjuk, lehet nagyobb is.

A $[c,d]\stackrel{\lambda (t)}{\to }[a,b],\lambda (t)=\frac{b-a}{d-c}t+\frac{ad-bc}{d-c}$

transzformációval egymásra képezzük le a két intervallumot. Elvégezve az $x=\lambda (t)$ változócserét és felhasználva, hogy $dx=(b-a)/(d-c)dt$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\frac{b-a}{d-c}\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(\lambda (t))dt\approx \frac{b-a}{d-c}\sum _{i=0}^n{w}_{i}f(\lambda (t_i)).$

Az intervallumcsere nem a rögzített csomópontközű eljárások sajátja. Azonos módon használható majd a Gauss-kvadratúrák esetén is.

Newton–Cotes-kvadratúraképletek

Ugyanebbe a kategóriába tartoznak a Newton–Cotes-kvadratúraképletek (Newton–Cotes-formula), melyeknek lényege ugyancsak az, hogy az a,b intervallumot felossza n darab, h=(b-a)/n hosszúságú szakaszra. A módszer bevezeti a Cotes-féle állandókat, melyek nem függnek sem a függvénytől, sem az intervallum határaitól.

Forrásanyag

• Numerikus módszerek - Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc