Pontonkénti konvergencia

A matematikában a pontonkénti konvergencia az egyik mód, ahogyan függvénysorozat egy határfüggvényhez konvergálhat.

Legyen { f_n } függvények egy sorozata, amelyeknek értelmezési tartománya megegyezik. Azt mondjuk, hogy az { f_n } sorozat pontonként tart f-hez, ha

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x).$

a tartomány minden x pontjában.

Ezt a konvergenciafajtát gyakran

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n=f\text{pointwise},$

jelöli. Gyakran rövidítik is a pointwise szót, a rövidítés pw; és gyakran a nyílra írják.

Tulajdonságai

A fogalmat gyakran szembeállítják az egyenletes konvergenciával, amit gyakran a nyílra írt e betű jelöl. Az egyenletes konvergencia erősebb, mint a pontonkénti, mert az egyenletes konvergenciából következik a pontonkénti, de a pontonkénti konvergenciából nem következik az egyenletes. Például

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n=0\text{pontonként}\text{a}[0,1),\text{intervallumon, }\text{de}\text{nem}\text{egyenletesen}\text{a}[0,1)\text{ intervallumon}.$

Folytonos sorozatok pontonkénti határfüggvénye lehet nem folytonos:

$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\cos (\pi x{)}^{2n}$

értéke 1, ha x egész, és 0, ha nem egész, így minden egész helyen szakadása van.

A pontonkénti konvergencia nemcsak valós, vagy komplex értékű függvényekre értelmezhető, hanem a függvények topologikus terek pontjaira is képezhetnek. Az egyenletes konvergencia azonban nem értelmezhető minden topologikus térbe képező függvénysorozatra, hanem metrikus, vagy általánosabban uniform terek kellenek hozzá.

Topológia

A pontonkénti konvergencia ugyanaz, mint a konvergencia az Y^X szorzattopológiában, ahol X az értelmezési tartomány, Y pedig a függvények értékkészleteit tartalmazó tartomány. Ha Y kompakt, akkor Tyihinov tétele miatt Y^X is kompakt.

Konvergencia majdnem mindenütt

A mértékelméletben szó esik majdnem mindenütt való konvergenciáról, ha a függvénysorozat tagjai mérhető halmazon definiált mérhető függvények. Ez pontonkénti konvergenciát jelent majdnem mindenütt. Egorov tétele szerint a majdnem mindenütt való konvergencia egy véges mértékű halmazon egy kisebb halmazon való egyenletes konvergenciát von maga után.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book

Fordítás

• Sablon:Fordítás