Negatív hőmérséklet

Az SI hőmérséklet/hidegség átváltási skála: a Kelvin-skálán mért hőmérsékletek kékkel, a Celsius-skálán mértek zölddel, a Fahrenheit-skálán mértek pirosal, a GB/nJ-ban megadott hidegség feketével. A végtelen hőmérséklet (0 hidegség) az ábra tetején, a pozitív hőmérséklet/hidegség jobboldalt, a negatív baloldalt.

Egyes rendszerek negatív abszolút hőmérsékletet érhetnek el, vagyis hőmérsékletük a Kelvin-skálán negatív értékkel fejezhető ki. Ez megkülönböztetendő a nem termodinamikai Celsius- vagy Fahrenheit-skálán mért negatív értékekkel leírt hőmérsékletektől, melyek az abszolút nulla felett vannak. A Kelvin-skálán negatív hőmérsékletű rendszer melegebb, mint bármilyen pozitív hőmérsékletű rendszer. Egy negatív és egy pozitív hőmérsékletű rendszer találkozásakor a hő a negatív hőmérsékletű rendszertől a pozitív hőmérsékletűhöz kerül. Erre példa a lézerek populációinverziója.

Korlátlan fázisterű termodinamikai rendszerek hőmérséklete nem lehet negatív: velük hőt közölve mindig nő az entrópiájuk. Energianövekedés melletti entrópiacsökkenéshez a rendszer entrópiájának „feltöltése” kell, ez csak korlátozott számú nagy energiájú állapot esetén lehetséges. Normál részecskék (például atomok vagy por) esetén a nagy energiájú állapotok száma korlátlan (a részecskemomentumok elvben korlátlanul növekedhetnek). Egyes rendszereknek azonban van egy maximális mennyiségű energiájuk, melyhez közelítve entrópiájuk csökkenni kezd.

Történet

A negatív hőmérséklet lehetőségét először Lars Onsager feltételezte 1949-ben. Onsager 2 dimenziós örvényeket vizsgált véges területen, és felismerte, hogy mivel helyzetük a momentumaiktól nem független szabadságfok, az így adott fázistér is véges. A határos fázistér teszi lehetővé a negatív hőmérsékleteket, és klasszikus és kvantumrendszerekben is előfordulhat. Egy véges fázisterű rendszer entrópiája az energia növelésével elér egy maximumot, a csúcs feletti energiák esetén az entrópia csökken, és a nagy energiájú állapotok Boltzmann-hőmérséklete negatív.

A negatív hőmérsékletű rendszer állapotainak korlátossága azt jelenti, hogy a negatív hőmérséklet a rendszer nagy energiákon megjelenő rendezettségével függ össze. Például Onsager pontörvény-analízisében negatív hőmérsékleten örvénycsoportok jelennek meg. E spontán rendezettség az egyensúlyi statisztikai mechanikában a növekvő energia növekvő rendezetlenséggel való intuitív kapcsolatával ellentétes.

Hőmérséklet-definíció

Az abszolút hőmérsékleti (Kelvin-) skála a rendszer részecskéinek átlagos kinetikus energiájaként is értelmezhető. A negatív hőmérséklet léte és az, hogy a negatív hőmérséklet „melegebb” rendszereket jelent a pozitívnál, ezen értelmezésben ellentmondásos. Ezt feloldja a hőmérséklet Boltzmann entrópiaképlete útján való pontosabb definíció. Ez a rendszer belső energiájának és entrópiájának kapcsolatát mutatja meg, ahol a „hidegség” az alapvetőbb mennyiség. A pozitív hőmérsékletű rendszerek entrópiája az energia hozzáadásával növekszik, a negatív hőmérsékletűeké csökken.

A hőmérséklet (T) definíciója egy rendszer entrópiájának (S) változásától függ $Q_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}}$ reverzibilis hőtranszfer mellett:

$T=\frac{d{Q}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}}}{dS}.$

Az entrópia állapotfüggvény, így dS ciklikus folyamaton való integrálja 0. Egy olyan rendszerben, melynek entrópiája kizárólag az energia függvénye, a hőmérséklet az alábbi módon határozható meg:

$T={\left(\frac{dS}{dE}\right)}^{-1}.$

Ugyanígy a termodinamikai béta az alábbi módon határozható meg:

$\beta =\frac{1}{kT}=\frac{1}{k}\frac{dS}{dE},$

ahol k a Boltzmann-állandó.

A klasszikus termodinamikában S definiálható a hőmérséklettel. Itt fordítva történik: S a statisztikai entrópia, a rendszer mikroállapotainak függvénye, a hőmérséklet az energiaszintek lehetséges állapotok közti eloszlásáról ad információt. Sok szabadságfokú rendszerek esetén a statisztikai és a termodinamikai entrópia egymással konzisztensek.

Egyes elméletek alternatív entrópiadefiníciót kívántak használni a termodinamikai és a statisztikai entrópia feltételezett különbségeire kis és az energiával csökkenő állapotszámú rendszerek esetén, az ezen entrópiákból levezethető hőmérsékletek eltérnek. Bár egyesek szerint ezek más inkonzisztenciákat okoznának, támogatóik szerint ez látszólagos.

Hő- és molekulárisenergia-eloszlás

Fájl:NegativeTemperature.webm A egatív hőmérsékletek csak korlátozott számú energiaállapotú rendszerben létezhetnek. Egy ilyen rendszer hőmérsékletének növekedésével a részecskék egyre magasabb energiájú állapotokba kerülnek, és az alacsonyabb és magasabb energiájú részecskék száma egyenlővé válik a hőmérséklet véges állapotú rendszerekre való statisztikai mechanikai értelmezésének következtében. További energia-hozzáadással készíthető több magasabb energiájú részecskét tartalmazó rendszer, ekkor az negatív hőmérsékletűnek tekinthető. Tehát a negatív hőmérsékletű anyagok nem hidegebbek az abszolút nullánál, hanem melegebbek a végtelen hőmérsékletnél. Kittel és Kroemer (462. o.) szerint: Sablon:Idézet2 A megfelelő fordított hőmérsékleti skála $\beta =\frac{1}{kT}$-ra nézve (ahol k a Boltzmann-állandó) így halad folytonosan alacsonytól magas energiáig: +∞, …, 0, …, −∞. Mivel nem ugrik hirtelen +∞-től −∞-re, a β-t gyakran természetesebbnek tekintik T-nél. Egy rendszernek lehet több negatív hőmérsékletű része, így −∞–+∞ ugrása is.

Sok fizikai rendszerben a hőmérsékletet az atomok kinetikus energiájával hozzák összefüggésbe. Mivel egy atom momentumának nincs felső határa, így az energiaállapotok számának sincs felső határa, és nincs lehetőség negatív hőmérsékletre. Azonban a statisztikai mechanikában a hőmérséklet nemcsak a kinetikus energiához járulhat hozzá.

Hőmérséklet és rendezetlenség

Az energia különböző mozgási, vibrációs, forgási, elektronikai és magi rendszermódok közti eloszlása határozza meg a makroszkopikus hőmérsékletet. „Normál” rendszerben a hőenergia ezek közt folytonosan cserélődik.

Azonban egyes esetekben izolálhatók az egyes módok. A gyakorlatban az izolált módok a többivel szintén cserélnek energiát, de ennek sebessége lassabb, mint az izolált módban való cseréké. Erre példa az atommagspinek esete erős külső mágneses mezőben. Ekkor a kölcsönható atomok spinállapotai közt gyorsan adódik át energia, de a magspinek és más módok közt lassan. Mivel a spinrendszeren belül van főleg energiaátvitel, logikus spinhőmérsékletről beszélni, mely más módok hőmérsékletétől eltér.

A hőmérséklet definíciója az alábbi kapcsolaton alapul:

$T=\frac{d{Q}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}}}{dS}$

E kapcsolat alapján a pozitív hőmérséklet hőenergiaként növekvő entrópiához tartozik. Ez a „normál” állapot a makroszkopikus világban, és a mozgási, vibrációs, forgási és nem spinhez kapcsolódó elektronikai és magi módokra mindig jellemző, mivel végtelen sok ilyen mód van, így a hő hozzáadása az energetikailag elérhető módok számát növeli, növelve az entrópiát.

Példák

Nem kölcsönható kétszintű részecskék

Sablon:Több kép A legegyszerűbb, de nem fizikai példa egy N egymással nem kölcsönható részecskéből álló rendszer, melyek energiája vagy +ε, vagy −ε. Ez az Ising-modell határesete, ahol a kölcsönhatás elhanyagolható. A rendszer összenergiája

$E=\epsilon \sum _{i=1}^N{\sigma }_i=\epsilon j,$

ahol ${\sigma }_i$ az i. részecske előjele, j a pozitív és negatív energiájú részecskék számának különbsége. Így az adott energiájú és részecskeszámú mikroállapotok száma

${\mathrm{\Omega }}_E=(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{\frac{N+j}{2}})=\frac{N!}{\left(\frac{N+j}{2}\right)!\left(\frac{N-j}{2}\right)!}.$

A statisztikai mechanika alaptétele alapján a mikrokanonikus ensemble entrópiája

$S=k_{\text{B}}\ln {\mathrm{\Omega }}_E$

A termodinamikai béta (Sablon:Math) kiszámítható azt központi különbségként tekintve a kontinuumhatár számítása nélkül:

$\begin{array}{cc}\beta & =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}}\frac{{\delta }_{2\epsilon }[S]}{2\epsilon }\\ & =\frac{1}{2\epsilon }(\ln {\mathrm{\Omega }}_{E+\epsilon }-\ln {\mathrm{\Omega }}_{E-\epsilon })\\ & =\frac{1}{2\epsilon }\ln \left(\frac{\left(\frac{N+j-1}{2}\right)!\left(\frac{N-j+1}{2}\right)!}{\left(\frac{N+j+1}{2}\right)!\left(\frac{N-j-1}{2}\right)!}\right)\\ & =\frac{1}{2\epsilon }\ln \left(\frac{N-j+1}{N+j+1}\right).\end{array}$

Innen a hőmérséklet

$T(E)=\frac{2\epsilon }{k_{\text{B}}}{[\ln \left(\frac{(N+1)\epsilon -E}{(N+1)\epsilon +E}\right)]}^{-1}.$

Ez feltételezi, hogy a mikrokanonikus ensemble energiája fix, hőmérséklete a megjelenő jellemző. Kanonikus ensemble-ban a hőmérséklet rögzített, az energia a megjelenő tulajdonság. Ez alapján (ε a mikroállapotokra utal):

$\begin{array}{cc}Z(T)& =\sum _{i=1}^N{e}^{-{\epsilon }_i\beta }\\ E(T)& =\frac{1}{Z}\sum _{i=1}^N{\epsilon }_i{e}^{-{\epsilon }_i\beta }\\ S(T)& =k_{\text{B}}\ln (Z)+\frac{E}{T}\end{array}$

Az előbbi példa alapján két szint és két részecske esetén az ${\epsilon }_1=0,{\epsilon }_2=1,{\epsilon }_3=1,{\epsilon }_4=2$ mikroállapotok vannak.

$\begin{array}{cc}Z(T)& =e^{-0\beta }+2e^{-1\beta }+e^{-2\beta }\\ & =1+2e^{-\beta }+e^{-2\beta }\\ E(T)& =\frac{0e^{-0\beta }+2\times 1e^{-1\beta }+2e^{-2\beta }}{Z}\\ & =\frac{2e^{-\beta }+2e^{-2\beta }}{Z}\\ & =\frac{2e^{-\beta }+2e^{-2\beta }}{1+2e^{-\beta }+e^{-2\beta }}\\ S(T)& =k_{\text{B}}\ln (1+2e^{-\beta }+e^{-2\beta })+\frac{2e^{-\beta }+2e^{-2\beta }}{(1+2e^{-\beta }+e^{-2\beta })T}\end{array}$

S, E és Z megfelelő értékei növekednek T-vel, és sose lesz negatív hőmérséklet.

Magspinek

Az előbbi példa közelítőleg teljesül külső mágneses mezőben lévő magok spinjeire. Ez lehetővé teszi a kísérlet mágneses magrezonancia változataként történő futtatását. Elektronikai és magspinrendszerek esetén csak véges számú, gyakran csak 2 mód van, melyek a fel- és lemutató spinnek felelnek meg. Mágneses mező hiányában ezek elfajultak, vagyis azonos energiájúak. Külső mágneses mezőben az energiaszintek elválnak, a mágneses mezővel párhuzamos spinek energiája eltér az antipárhuzamosakétól.

Mágneses mező hiányában, például kétspines rendszerben maximális entrópia esetén az atomok fele fel, felük lemutató spinnel rendelkezik, így a spinek eloszlása közel egyenlő. Mágneses mező jelenlétében egyes atomok a rendszer energiájának minimalizálására rendeződnek, így több atom állapota lesz alacsonyabb energiájú. A spinrendszerhez energia adható rádiófrekvenciás módon. Ez az atomok fordulását okozza.

Mivel az atomok több mint fele alacsonyabb energiaállapotú volt, ez előbb egyenlő arányú keveréket hoz létre, így az entrópia a pozitív hőmérsékletnek megfelelően növekszik. Azonban egy ponton túl a spinek több mint fele a magasabb energiájú állapotba kerül. Ekkor több energia hozzáadásával csökken az entrópia, mivel az egyenlő arányú keveréktől távolabb kerül a rendszer. Ez az entrópiacsökkenés negatív hőmérsékletnek felel meg. Ez adott spinhez 180° feletti szélességű pulzusoknak felel meg. Míg szilárd anyagokban az energiacsökkenés gyors, néhány másodperc kell ehhez az oldatokban, és még több gázokban és ultrahideg rendszerekben: pikokelvines hőmérsékletű ezüst és ródium esetén például több óra. Fontos, hogy csak a magspineket figyelembe véve negatív a hőmérséklet. Más szabadságfokok, például a vibrációs, az elektronikai és az elektronspinszintek hőmérséklete pozitív, így az anyag hője pozitív. Az energiacsökkenés a magspinek és más állapotok energiacseréjével történik (például más spinekkel való magi Overhauser-hatás révén).

Lézerek

E jelenség sok lézerrendszerben megfigyelhető, ahol a rendszer sok atomja (kémiai és gázlézerek esetén) vagy elektronja (félvezetőlézerek esetén) gerjesztett. Ez a populációinverzió.

Egy lumineszcens sugárzási mező Hamilton-értéke $H=(h\nu -\mu )a^{†}a.$

A nagy kanonikus ensemble sűrűségoperátora $\rho =\frac{e^{-\beta H}}{\mathrm{Tr}\left(e^{-\beta H}\right)}.$

Hogy legyen alapállapot, a nyom konvergáljon, és a sűrűségoperátor értelmes legyen, $\beta H$-nak pozitív féldefiniáltnak kell lennie. Így ha $h\nu <\mu$, és H negatív féldefiniált, β-nak negatívnak kell lennie, negatív hőmérsékletet adva.

Mozgási szabadságfokok

Negatív hőmérsékletek elérhetők mozgási szabadságfokok terén is. Optikai rácsot használva hideg kálium-39-atomok kinetikus, interakciós és potenciális energiái korlátozhatók az atomok kölcsönhatásainak Feshbach-válasz révén taszítóból vonzóvá, a harmonikus potenciál csapdázóból anticsapdázóvá alakításával, így a Bose–Hubbard-operátor Ĥ-ból −Ĥ-vá alakult. Ezt adiabatikusan elvégezve, miközben az atomok Mott-szigetelőkben vannak, lehet az alacsony entrópiájú pozitív hőmérsékletűből alacsony entrópiájú negatív hőmérsékletű állapot előállítása. Ez utóbbiban az atomok a rács maximális momentumú helyzetét foglalják el. A negatív hőmérsékletű ensemble-ok egyensúlyba kerültek, és hosszú életűek voltak anticsapdázó harmonikus potenciálban.

Kétdimenziós örvénymozgás

A kétdimenziós véges területű örvényrendszerek negatív hőmérsékletű egyensúlyi állapotokat alkothatnak, ezt klasszikus pontörvényekről szóló tanulmányában Onsager előrejelezte. Onsager jóslatát kvantumörvényrendszerrel kísérletileg igazolták Bose–Einstein-kondenzátumban 2019-ben.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite conference
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite web