Morrie-tétel

A Morrie-tétel egy trigonometrikus azonosság, amely kimondja, hogy

$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }=\frac{1}{8}.$

Ez egy speciális esete a következő általánosabb azonosságnak:

$2^n\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{\sin (\alpha )},$

méghozzá $n=3$ és $\alpha =20^{\circ }$ választással.

A név Richard Feynmantól származik, aki ezen a néven hivatkozott az azonosságra, ugyanis gyermekkorában hallott róla először egy Morrie Jacobs nevű fiútól.

Egy hasonló azonosság létezik a szinusz szögfüggvényre is:

$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{8}.$

Továbbá, a második azonosságot elosztva az elsővel azt kapjuk, hogy

$\tan 20^{\circ }\cdot \tan 40^{\circ }\cdot \tan 80^{\circ }=\sqrt{3}.$

Bizonyítás

Írjuk fel a kétszeres szög szinuszára vonatkozó azonosságot:

$\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha ).$

Ebből fejezzük ki $\cos (\alpha )$-t:

$\cos (\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}.$

Innen következik, hogy:

$\begin{array}{cc}\cos (2\alpha )& =\frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\\ \cos (4\alpha )& =\frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}\\ & ⋮\\ \cos (2^{n-1}\alpha )& =\frac{\sin (2^n\alpha )}{2\sin (2^{n-1}\alpha )}.\end{array}$

Ezen kifejezéseket összeszorozva a következőt kapjuk:

$\cos (\alpha )\cos (2\alpha )\cos (4\alpha )\cdots \cos (2^{n-1}\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}\cdot \frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\cdot \frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}\cdots \frac{\sin (2^n\alpha )}{2\sin (2^{n-1}\alpha )}.$

Ez egy teleszkopikus szorzat, egyszerűsítés után azt kapjuk, hogy

$\prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{2^n\sin (\alpha )},$

amely megegyezik a Morrie-tétel általánosításával.

Fordítás

• Sablon:Fordítás

Források

• Sablon:Mathworld