Momentumok módszere

A statisztikában a momentumok módszere a populáció paraméterei becslésének egy módja.

A módszer első lépése a populációmomentumok (azaz a szóban forgó valószínűségi változó hatványainak várható értékei) kifejezése a vizsgált paraméterek függvényében. Ezeket a kifejezéseket ezután egyenlővé tesszük a mintamomentumokkal. Az így kapott egyenletek száma megegyezik a becsülendő paraméterek számával. Ezeket az egyenleteket ezután megoldjuk a kérdéses paraméterekre. A megoldások ezeknek a paramétereknek a becslései.

A momentumok módszerét Pafnutyij Csebisev vezette be 1887-ben a központi határeloszlástétel bizonyítása során. Az az elképzelés, hogy megfelelő empirikus momentumokat a populációmomentumokkal kell egyenlővé tenni, legalább Pearsonig megy vissza. 

Módszer

Tegyük fel, hogy a probléma $k$ darab ismeretlen paraméter ${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k$becslése, amik a $W$ valószínűségi változó $f_W(w;\theta )$ eloszlásfüggvényét parametrizálják. Tegyük fel, hogy az eloszlás első $k$ momentuma felírható a $\theta$ paraméterek függvényeként:

$\begin{array}{cc}{\mu }_1& \equiv \mathrm{E}[W]=g_1({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k),\\ {\mu }_2& \equiv \mathrm{E}[W^2]=g_2({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k),\\ & ⋮\\ {\mu }_k& \equiv \mathrm{E}[W^k]=g_k({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k).\end{array}$

Vegyünk egy $n$ méretű mintát, ami a $w_1,\dots ,w_n$ értékeket eredményezi . A $j=1,\dots ,k$ indexekre legyen

${\hat{\mu }}_j=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{w}_i^j$

a j-edik mintamomentum, ami ${\mu }_j$ empirikus becslése. A ${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k$paramétekre adott becsléseink – melyeket rendre a ${\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2,\dots ,{\hat{\theta }}_k$változók jelölnek – az alábbi egyenletek megoldásaiként vannak definiálva (ha ilyen megoldás létezik): 

$\begin{array}{cc}{\hat{\mu }}_1& =g_1({\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2,\dots ,{\hat{\theta }}_k),\\ {\hat{\mu }}_2& =g_2({\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2,\dots ,{\hat{\theta }}_k),\\ & ⋮\\ {\hat{\mu }}_k& =g_k({\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2,\dots ,{\hat{\theta }}_k).\end{array}$

Előnyök és hátrányok

A momentumok módszere meglehetősen egyszerű, és konzisztens becsléseket ad (nagyon gyenge feltételezések mellett), bár ezek a becslések gyakran torzítottak.

A momentumok módszere a maximum likelihood módszer alternatívája.

Egyes esetekben azonban a maximum likelihood módszer által adott egyenletek megoldhatatlanok lehetnek számítógépek nélkül, míg a momentum alapú becslések sokkal gyorsabban és könnyebben kiszámíthatóak. A könnyű kiszámíthatóság miatt a momentum-becslések használhatók a likelihood egyenletek megoldásainak első közelítéseként, majd az egymást követő javított közelítések a Newton–Raphson-módszerrel kereshetők. Ily módon a momentumok módszere segíthet a maximum likelihood becslések megtalálásában.

Egyes esetekben, nagy mintáknál ritkán, de kis mintáknál nem olyan ritkán, a momentumok módszerével adott becslések kívül esnek a paramétertéren (ahogy az alábbi példában látható); ilyenkor nincs értelme rájuk hagyatkozni. Ez a probléma soha nem merül fel a maximum likelihood módszernél. A momentumok módszerével kapott becslések sem feltétlenül elégséges statisztikák, azaz néha nem veszik figyelembe a mintában szereplő összes releváns információt.

Más szerkezeti paraméterek (pl. hasznossági függvény paraméterei, ismert valószínűségi eloszlás paraméterei helyett) becslésekor előfordulhat, hogy nem ismertek megfelelő valószínűségi eloszlások, és a momentum alapú becslések előnyben részesíthetők a maximum likelihood becsléssel szemben.

Példák

A momentumok módszerének példakénti alkalmazása a polinomiális sűrűségfüggvények becslése. Ebben az esetben egy közelítő $N$-ed fokú polinom az $[a,b]$ intervallumon van meghatározva. A momentumok módszere ezután egy egyenletrendszert ad, amelynek megoldása egy Hankel-mátrix invertálásával jár.

Egyenletes eloszlás

Tekintsük az egyenletes eloszlást a $[a,b]$ intervallumon: $U(a,b)$ . Ha $W\sim U(a,b)$ akkor

${\mu }_1=\mathrm{E}[W]=\frac{1}{2}(a+b)$

${\mu }_2=\mathrm{E}[W^2]=\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)$

Ezen egyenletek megoldása azt adja, hogy

$\hat{a}={\mu }_1-\sqrt{3({\mu }_2-{\mu }_1^2)}$

$\hat{b}={\mu }_1+\sqrt{3({\mu }_2-{\mu }_1^2)}$

Ha adott egy $\{w_i\}$ minta, akkor használhatjuk a mintamomentumokat ${\hat{\mu }}_1$-t és ${\hat{\mu }}_2$-t ezekből a képletekből hogy megbecsüljük $a$-t és $b$-t .

Ne feledjük azonban, hogy ez a módszer bizonyos esetekben inkonzisztens eredményeket adhat. Például ha a minta $\{0,0,0,0,1\}$ a becslés a $\hat{a}=\frac{1}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5},\hat{b}=\frac{1}{5}+\frac{2\sqrt{3}}{5}$ eredményt adja annak ellenére, hogy $\hat{b}<1$ és így lehetetlen hogy a $\{0,0,0,0,1\}$ minta az $U(\hat{a},\hat{b})$ eloszlásból származzon.