Legendre-szimbólum

A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (1752–1833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.

Definíció

Ha $p$ prímszám és $a$ egész szám, akkor az $\left(\frac{a}{p}\right)$ Legendre-szimbólum értéke:

• 0, ha $p$ osztja $a$-t,
• 1, ha $a$ kvadratikus maradék $p$-re nézve – azaz van olyan egész $k$ hogy $k^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$,
• –1, ha $a$ kvadratikus nemmaradék $p$-re nézve, tehát nincs fenti tulajdonságú $k$ egész szám

A Legendre-szimbólum tulajdonságai

A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:

1. $\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$ (felső változójában teljesen multiplikatív függvény)
2. Ha $a\equiv b(\mathrm{mod}p)$, akkor $\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)$
3. $\left(\frac{1}{p}\right)=1$
4. Ha $p$ páratlan prím, akkor $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$, azaz 1, ha $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ és – 1, ha $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$
5. Ha $p$ páratlan prím, akkor $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}$, ami 1, ha $p\equiv 1$ vagy $7(\mathrm{mod}8)$ és – 1, ha $p\equiv 3$ vagy $5(\mathrm{mod}8)$
6. Ha $p$ és $q$ páratlan prímszámok, akkor $\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{q-1}{2}}$

Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.

Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:

$\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(\mathrm{mod}p)$

A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.

Általánosítás

A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.

Külső hivatkozások

• Az Euler-kritérium