Kőnig-egyenlőtlenség

A Kőnig-egyenlőtlenség a halmazelmélet egyik tétele, amely Kőnig Gyula matematikustól származik. A tétel szerint ha a kiválasztási axióma igaz, $I$ tetszőleges indexhalmaz, $m_i$ és $n_i$ számosságok minden $i\in I$ értékre, amire $m_i<n_i$ teljesül minden $i\in I$ esetén, akkor

$\sum _{i\in I}{m}_i<\prod _{i\in I}{n}_i.$

ahol a bal oldalon az $m_i$ számosságok összege, a jobb oldalon az $n_i$ számosságok szorzata áll.

E tétel következménye, hogy ${\kappa }^{\mathrm{c}f(\kappa )}>\kappa$ teljesül minden végtelen ${\displaystyle }$ számosságra. Innen $\mathrm{c}f({\lambda }^{\kappa })>\kappa$ adódik minden $\kappa \ge {\mathrm{\aleph }}_0$, $\lambda \ge 2$ számosságra, speciálisan $\mathrm{c}f(2^{\kappa })>\kappa$.

Bizonyítása

Legyen $⟨X_i\mid i\in I⟩$, $⟨Y_i\mid i\in I⟩$ két, páronként diszjunkt halmazok sorozata, amire $|X_i|={\kappa }_i<{\lambda }_i=|Y_i|$. Elég belátni, hogy van egy injektív, de nem bijektív $\mathrm{\Phi }:\bigcup _{i\in I}{X}_i\to \{f:I\to {\cup }_{i\in I}{Y}_i\mid \mathrm{\forall }i\in If(i)\in Y_i\}$

Legyen ${\alpha }_i$ elem $Y_i\setminus X_i$-ből $i\in I$-re. Legyen továbbá $x\in \bigcup _{i\in I}{X}_i$. Ekkor egyértelműen van egy $j\in I$, hogy $x\in X_j$. Legyen $f:=\mathrm{\Phi }(x)$ az a függvény, amire $f(i)=\{\begin{array}{cc}x,& i=j\\ {\alpha }_i,& i\ne j\end{array}$. Ekkor $\mathrm{\Phi }$ injektív.

Adva legyen most egy $\mathrm{\Phi }$, és definiáljuk $f(i)$-t minden $i\in I$-re $Y_i\setminus \{\mathrm{\Phi }(x)(i)|x\in X_i\}$ elemeként. Ekkor $f$ az $i$ helyen különbözik $\mathrm{\Phi }$ $X_i$-beli képétől. Mivel ez minden $i\in I$-re teljesül, $\mathrm{\Phi }$ nem szürjektív, és így nem bijektív.

Források

• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), Sablon:ISBN.
• Kőnig Gyula: Zum Kontinuumsproblem, Mathematische Annalen 60 (1905), 177-180.