Középpontos sokszögszámok

Innen: testwiki
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A középpontos sokszögszámok a figurális számok egy fajtája. Olyan alakzatokat jellemeznek, ahol a középpontban egy pont van, és azt sokszög alakú pontrétegek veszik körül. Adott réteg minden oldala eggyel több pontot tartalmaz, mint a korábbi réteg, így a második sokszögrétegtől kezdve egy középpontos k-szögszám minden rétege k-val több pontot tartalmaz a korábbinál.

Példák

Mindegyik sorozat előáll a háromszögszám valahányszorosához 1-et hozzáadva. Például a középpontos négyzetszámok a háromszögszám négyszerese plusz 1 képlettel állnak elő.

A sorozatok:

s.í.t.

A következő ábrák középpontos sokszögszámok vannak, megrajzolásuk folyamatát is bemutatva. Érdemes összehasonlítani a sokszögszámok cikkben található ábrákkal.

Középpontos négyzetszámok

1     5     13     25
*             *    *
 * 
*    * 		            *    *    *
 *    * 
*    *    *
 *    * 
*    *    * 		            *    *    *    *
    *    *    *    
*    *    *    *
    *    *    *    
*    *    *    *
    *    *    *    
*    *    *    *

Középpontos hatszögszámok

1     7     19     37
*             *  *
*  *  *
*  * 		            *  *  *
*  *  *  *
*  *  *  *  *
*  *  *  *
*  *  * 		            *  *  *  *
*  *  *  *  *
*  *  *  *  *  *
*  *  *  *  *  *  *
*  *  *  *  *  *
*  *  *  *  *
*  *  *  *

Képlet

Ahogy a fenti ábrákból látható, az n-edik középpontos k-szögszám megkapható, ha az (n−1)-edik háromszögszámból k másolatot helyezünk el egy középpont körül; ezért az n-edik középpontos k-szögszám kifejezhető így:

Ck,n=kn2(n−1)+1.

Ahogy a sima sokszögszámoknál is, az első k-szögszám mindig 1. Tehát bármilyen k számra 1 egyaránt k-szögszám és középpontos k-szögszám. A következő olyan szám, ami egyaránt k-szögszám és középpontos k-szögszám a következő képlettel számolható:

k22(k−1)+1

ami szerint a 10 háromszögszám és középpontos háromszögszám, a 25 négyzetszám és középpontos négyzetszám stb.

Amíg a p prímszámok nem lehetnek sokszögszámok (eltekintve a triviális ténytől, hogy minden p a második p-szögszám), a középpontos sokszögszámok között sok prímszám található.

Jegyzetek

Fordítás

A lap eredeti címe: „https://hu.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Középpontos_sokszögszámok&oldid=3421”