Köbös spline interpoláció

A köbös spline, az interpoláció egy fajtája, és az a tulajdonsága, hogy az egymást követő pontok harmadfokú polinomokkal vannak összekötve. A magasabb fok és az együtthatók olyan módon görbítik két pont között a polinomot, hogy annak végpontjai simán illeszkednek a szomszédos szakaszokon értelmezett polinomokhoz. Az interpolációs függvény tehát az alábbi alakot veszi fel:

$S(x)=\{\begin{array}{c}{S}_0(x),x\in [x_0,x_1]\\ S_1(x),x\in [x_1,x_2]\\ \cdots \\ S_{n-1}(x),x\in [x_{n-1},x_n]\end{array}$

A függvénynek pedig rendelkeznie kell az alábbi feltételekkel:

• interpolációs sajátosság, S(x_i)=f(x_i)
• a spline-ok illesztése, S_i-1(x_i) = S_i(x_i), i =1,...,n-1
• első és másodrendű deriváltak folytonossága, S'_i-1(x_i) = S'_i(x_i) és S''_i-1(x_i) = S''_i(x_i), i =1,...,n -1.

n köbös polinom S-be való belefoglalásába szükség van n+1 feltétel meghatározására. De az S(x_i)=f(x_i) egyenlet n+1 feltételt ad és ezek a feltételek a pontokon belül n+1–2=n–1 pontot eredményeznek, tehát összesen 4n ‒ 2 feltételt.

Ha az elsőrendű deriváltjait az S-nek az x₀ és x_k pontokban elnevezzük u-nak és v-nek, az úgynevezett kapocs spline interpoláció:

$S^{\prime }(x_0)=u$

$S^{\prime }(x_k)=v$

Esetleg a másodrendű deriváltakat egyenlővé téve 0-val:

$S^{″}(x_0)=S^{″}(x_n)=0$.

eredménynek a természetes köbös spline-t kapjuk.

Másik választásnak vehetjük a periodikus köbös spline-t ha

$S(x_0)=S(x_n)$

$S^{\prime }(x_0)=S^{\prime }(x_n)$

$S^{″}(x_0)=S^{″}(x_n)$

Vagy a teljes köbös spline-t ha

$S(x_0)=S(x_n)$

$S^{\prime }(x_0)=S^{\prime }(x_n)$

$S^{″}(x_0)=f^{\prime }(x_0),S^{″}(x_n)=f^{\prime }(x_n)$

Kapcsolódó szócikkek

• Spline

Források

• Numerikus módszerek. Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc. Kolozsvári Egyetemi Kiadó. 2008