Korrespondenciatétel

A korrespondenciatétel egy tétel a valószínűségszámításban, ami összekapcsolja a valós eloszlásokat és a valós eloszlásfüggvényeket. Ez a kapcsolat lehetővé teszi, hogy valószínűségeloszlások helyett eloszlásfüggvényeket vizsgáljunk. Ez egyszerűbb, mivel ezek valós-valós függvények, szemben a Borel-σ-algebrán értelmezett halmazfüggvényekkel.

Következik a mérték egyértelműségének tételéből.

Előkészület

Legyen $P$ valószínűségeloszlás a valós számokon, vagyis az $P$ metrikus téren. A cikk további részében $F_P(x)$ jelöli $P$ eloszlásfüggvényét, $F$ pedig eloszlásfüggvény, vagyis monoton növő, balról folytonos függvény, melynek határértékei

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$ és $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$.

Az első egy valószínűségeloszlás eloszlásfüggvénye, a második eloszlásfüggvény. Egy valószínűségeloszlás eloszlásfüggvénye eloszlásfüggvény, ami közvetlenül következik annak tulajdonságaiból. A korrespondenciatétel ezt fordítja meg.

Állítás

Minden $F$ eloszlásfüggvényhez tartozik egy egyértelmű $P$ eloszlás, aminek eloszlásfüggvénye. Azaz

$P_F((-\mathrm{\infty },x)):=F(x)$

Megfordítva, minden eloszlásnak van eloszlásfüggvénye, ahol

$F_P(x):=P((-\mathrm{\infty },x))$.

Így $F_{P_F}=F$ és $P_{F_P}=P$.

Ezzel az eloszlások és az eloszlásfüggvények kapcsolata bijektív.

Következményei

A korrespondenciatétel leegyszerűsíti az eloszlások vizsgálatát, mivel nem kell mértékelméleti módszereket használni, a valós analízis használata elegendő az eloszlásfüggvény vizsgálatára. A valószínűségeloszlásokról tett kijelentések, a hozzá kapcsolódó definíciók átalakíthatók úgy, hogy az eloszlásfüggvényre hivatkozzanak. Erre példa az valószínűségi változó eloszlásbeli konvergenciája, amihez az eloszlásfüggvény gyenge konvergenciáját használják. Az olyan messzire vezető tételeket is mint Prokorov tétele az eloszlásfüggvényekre lehet bizonyítani.

Megfelelő eloszlásfüggvény megadásával konstruálhatók bonyolult valószínűségeloszlások. Klasszikus példa a Cantor-eloszlás, melynek eloszlásfüggvénye a Cantor-függvény.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book