Dirac-mérték

Az $\{x,y,z\}$ háromelemű halmaz Hasse-diagramja. Erre a halmazra a ${\delta }_x$ Dirac-mérték a bal felső négyesre 1-et, a többi elemre 0-t ad eredményül.

A Dirac-mérték egy matematikai fogalom, ami nagyságot rendel egy halmaz részhalmazaihoz, annak függvényében, hogy egy meghatározott érték eleme-e vagy sem. Ennek révén lehet formalizálni a Dirac-delta függvényt, aminek fontos alkalmazásai vannak a modern fizikában és különféle mérnöki-technikai területeken.

Definíció

Legyen $(M,𝒜)$ mérhető tér, és legyen $x\in M$. Ekkor Dirac-mértéknek nevezzük a következő függvényt:

${\delta }_x:𝒜\to \{0,1\},A\mapsto \{\begin{array}{c}1,\text{ ha }x\in A\\ 0,\text{ ha }x\notin A\end{array}$

A Dirac-mérték egy valószínűségi mérték, az $M$ mintatéren a majdnem biztosan bekövetkező $x$ eseményt jellemzi. Úgy is tekinthetnénk, hogy egyetlen atom $x$-ben, azonban a Dirac-mérték atomi mértékként kezelése helytelen, mivel a Dirac-mérték egy delta-sorozat határértéke. Sokkal inkább kezelhető az $M$ feletti valószínűségi mértékek konvex halmazának határpontjaként.

Maga a név a Dirac-féle δ-függvényre vezethető vissza. A Dirac mérték egyfajta Schwartz-eloszlásnak is tekinthető, például a valós számegyenesen. Ebben az esetben

$\underset{M}{\int }f(y)\text{d}{\delta }_x(y)=f(x)$,

vagy más formában

$\underset{M}{\int }f(y){\delta }_x(y)\text{d}y=f(x)$.

Ilyen formában a δ-disztribúció definíciójaként is szolgál a Lebesgue-integrálelméletben.

A Dirac-mérték tulajdonságai

• Legyen $(M,𝒜)$ mérhető tér, és ${\delta }_x$ egy ehhez tartozó Dirac-mérték. Ekkor ${\delta }_x$ valószínűségi mérték $M$ felett, és mint ilyen, véges.
• Legyen $(M,T)$ topológiai tér, és $𝒜$ legalább olyan finomságú, mint a $T$ feletti Borel-féle σ-algebra. Ekkor
  • ${\delta }_x$ szigorúan pozitív mérték, ha $x$ eleme minden nem üres halmaznak $T$-ben. Ez fordítva is igaz.
  • Lokálisan véges mérték, ez következik abból, hogy valószínűségi mérték is.
  • Ha $M$ Hausdorff-tér a Borel-féle σ-algebrával, akkor ${\delta }_x$ kielégíti a reguláris belső mérték feltételeit, mivel minden egyelemű halmaz kompakt.
  • A fenti esetben ${\delta }_x$ Radon-mérték is.
  • Ha $T$ elég finom ahhoz, hogy $\{x\}$ zárt legyen, akkor ${\delta }_x$ tartója is $\{x\}$ lesz. Mi több, ${\delta }_x$ az egyetlen $\{x\}$-tartójú valószínűségi mérték. Minden egyéb esetben $\text{supp}({\delta }_x)$ a lezárása lesz $\{x\}$-nak.
  • Ha $M={𝐑}^n$ euklideszi tér a szokásos σ-algebrával és az $n$-dimenziós Lebesgue-mértékkel, akkor erre nézve ${\delta }_x$ szinguláris mérték. Ezt egyszerű belátni: legyen $A:={𝐑}^n\setminus \{x\}$ és $B:=\{x\}$, ekkor ${\delta }_x(A)={\lambda }^n(B)=0$.

Általánosítás

A diszkrét mérték hasonlít a Dirac-mértékhez, azonban egyetlen helyett megszámlálhatóan sok pontra van értelmezve. Általánosabban minden mérték diszkrét a valós számegyenesen, ha a tartója legalább megszámlálható halmaz.

Fordítás

• Sablon:Fordítás