Dioklész-féle cisszoid

Dioklész-féle cisszoid (piros)

A Dioklész-féle cisszoid síkgörbe, algebrai görbe, melyet az alábbi egyenlet definiál:

$x^3+(x-a)y^2=0,a>0$

A görbe azon A pontok mértani helye, melyekre igaz, hogy OA = BC és az A, B, és C pont egy egyenesen fekszik, valamint

• O az origóban helyezkedik el,
• B ennek az egyenesnek és a annak az a átmérőjű körnek a metszéspontja, melynek középpontja (a/2,0).
• A C pont ennek ez egyenesnek és az x=a egyenesnek a metszéspontja.

A Dioklész-féle cisszoid tehát egy a átmérőjű kör és a hozzá tartozó érintőhöz tartozó görbe. Polárkoordinátás egyenlete:

$\rho =a(\sec \vartheta -\cos \vartheta ),$

vagy

$\rho =a\frac{{\sin }^2\vartheta }{\cos \vartheta }$

ahol $\vartheta \in (-\pi /2,\pi /2)$

Ezek az egyenletek paraméteres alakra is hozhatók:

$\{\begin{array}{c}y=a(\mathrm{tg}\vartheta -\frac{1}{2}\sin 2\vartheta ),\\ x=a{\sin }^2\vartheta ,\end{array}$

vagy

$\{\begin{array}{c}x=\frac{a{t}^2}{1+t^2},\\ y=\frac{a{t}^3}{1+t^2},\end{array}-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty },$

ahol

$t=\mathrm{tg}\phi$

$\phi$ az OA egyenesnek az x-tengellyel bezárt szöge.

Tulajdonságai

Az O pont a görbe szinguláris pontja, az x=a egyenes aszimptotája. A görbe és az aszimptota közötti terület:

$T=3/4\pi a^2$

A kocka megduplázása

A cisszoid segítségével Dioklésznak az i.e. III. században sikerült megoldani az úgynevezett déloszi problémát: a kocka kettőzését.

Külső hivatkozások

• Tankönyvtár

Források

• J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. Sablon:ISBN
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.