Dedekind-féle pszi-függvény

A számelméletben a Dedekind-féle pszi-függvény egy pozitív egészeken értelmezett multiplikatív függvény. Értéke

$\psi (n)=n\prod _{p|n}(1+\frac{1}{p}),$

ahol a szorzat az n hely prímosztóit futja be. A ψ(1) üres szorzat, értéke 1. Richard Dedekind vezette be a moduláris függvényekhez kapcsolódóan.

A ψ(n) értékei az első néhány helyen:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24... Sablon:OEIS.

Ha n egynél nagyobb, akkor ψ(n) > n, és minden n > 2 esetén páros. Ha n négyzetmentes szám, akkor ψ(n) = σ(n).

A ψ függvény definiálható úgy is, mint ψ(pⁿ) = (p+1)p^n-1, minden p prímre, és a többi helyre a multiplikatív tulajdonsággal kiterjeszthető. Ebből levezethető a generátorfüggvény kapcsolata a Riemann-féle zéta-függvénnyel:

$\sum \frac{\psi (n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}.$

Ez abból is következik, hogy $\psi =\mathrm{I}\mathrm{d}*|\mu |$, ahol * a Dirichlet-konvolúció.

Általánosítás

Magasabb rendekre is definiálható a Jordan-függvény felhasználásával:

${\psi }_k(n)=\frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)}$

vagy Dirichlet-sorral:

$\sum _{n\ge 1}\frac{{\psi }_k(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}$.

Kifejezhető, mint egy hatványfüggvény és a Möbius-függvény négyzetének Dirichlet-konvolúciója:

${\psi }_k(n)=n^k*{\mu }^2(n)$.

Jelölje a

${ϵ}_2=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\dots$

a négyzetszámok karakterisztikus függvényét. Ekkor egy másik Dirichlet-konvolúcióval az osztóösszeg-függvény általánosításai is kifejezhetők:

${ϵ}_2(n)*{\psi }_k(n)={\sigma }_k(n)$.

Források

• Sablon:Cite book (page 25, equation (1))
• Sablon:Cite arXiv
• Sablon:Cite arXiv Section 3.13.2
• Sablon:OEIS2C a ψ₂, Sablon:OEIS2C a ψ₃, és Sablon:OEIS2C a ψ₄