Csúsztatva tükrözés

Síkbeli csúsztatva tükrözés szemléltetése.

A geometriában a csúsztatva tükrözés az egybevágósági transzformációk egy fajtája. A síkban egy tengelyes tükrözés és egy eltolás szorzata; a térben egy síkra tükrözés és egy eltolás szorzata. Általában, a legalább kétdimenziós V vektortérben egy altérre való tükrözés és egy eltolás szorzata. Mindezek a transzformációk választhatók úgy, hogy a tükrözés tengelye és az eltolásvektor párhuzamosak legyenek. A tükrözések speciális csúsztatva tükrözésnek tekinthetőek, ahol az eltolásvektor a nullvektor.

Szerepe a diszkrét geometriában, a parkettázások és a kristályok szimmetriáinak osztályozásában, valamint a frízcsoportok vizsgálatában fontos. A járás szimmetriája is csúsztatva tükrözés. Mindezek mellett még az életjátékokban is megjelenik.

Tulajdonságai

• a síkbeli csúsztatva tükrözés három tengelyes tükrözés szorzataként, ahol a három tengely háromszöget zár közre
• általában három altérre vett tükrözés szorzataként kapható meg
• a tükrözés és az eltolás felcserélhető
• nincsenek fixpontjai
• egyetlen invariáns alakzata a párhuzamos felbontás tengelye
• a körüljárási irányt megfordítja
• egy csúsztatva tükrözés négyzete eltolás: ugyanis az első tényezőben az eltolást, a másodikban a tükrözést előrevéve a kétszeri tükrözés identitást ad, így csak az eltolás marad

Tércsoportok

A diszkrét tércsoportokban csak olyan transzformációk lehetnek, amik összeegyeztethetőek a megfelelő kristályráccsal. Mivel a csúsztatva tükrözés négyzete eltolás, ezért csak a táblázatban leírt csúsztatva tükrözések lehetnek egy tércsoport elemei:

Leírás	A tükörsíkra merőleges irány	Eltolásvektor	Hermann-Mauguin-szimbólum
Tengelyirányú tükrözési sík	[010]; [001]	$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$	a
	$[001];[100]$	$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$	b
	$[100];[010]$	$\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$	c
	$[1\overline{1}0];[110]$
	$[100];[010];[\overline{1}\overline{1}0]$
	$[1\overline{1}0];[120];[\overline{2}\overline{1}0]$
Átlós irányú tükrözési sík	$[001];[100];[010]$	$\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b});\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c});\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})$	n
	$[1\overline{1}0];[01\overline{1}];[\overline{1}01]$	$\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
	$[110];[011];[101]$	$\frac{1}{2}(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c});\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c});\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$
Tetraéderes tükrözési sík	$[001];[100];[010]$	$\frac{1}{4}(-\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b});\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}\pm \overrightarrow{c});\frac{1}{4}(\pm \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})$	d
	$[1\overline{1}0];[01\overline{1}];[\overline{1}01]$	$\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\pm \overrightarrow{c});\frac{1}{4}(\pm \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c});\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
	$[110];[011];[101]$	$\frac{1}{4}(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\pm \overrightarrow{c});\frac{1}{4}(\pm \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c});\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}+-\overrightarrow{c})$

Egyszerűen bizonyítható, hogy mindezek a csúsztatva tükrözések eleget tesznek a négyzetükkel szemben támasztott követelményeknek. A tetraéderes csúsztatva tükrözések csak a lapközepes ortotrombikus, a térközepes tetragonális és a lapközepes bravaisrácsok szimmetriái között jelennek meg. Itt a centráltságról is tartalmaznak információt, ami négyzetre emeléssel kinyerhető; ugyanis az így kapott eltolásvektor már közvetlenül mutatja a centráltságot.

Életjáték

A csúsztatva tükrözés a járás szimmetriája. A Conway-féle életjátékban is sok szerkezet mozog csúsztatva tükrözéssel. A glider, a LWSS, az MWSS és az HWSS minden második lépésben önmaga csúsztatott tükörképévé válik. Íme egy kis űrhajó:

o	.	.	o	.	.	.
.	.	.	.	o	.	.
o	.	.	.	o	.	.
.	o	o	o	o	.	.
.	.	.	.	.	.	.

.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	o	o	.	.
.	o	o	.	o	o	.
.	o	o	o	o	.	.
.	.	o	o	.	.	.

.	.	.	.	.	.	.
.	.	o	o	o	o	.
.	o	.	.	.	o	.
.	.	.	.	.	o	.
.	o	.	.	o	.	.

.	.	.	o	o	.	.
.	.	o	o	o	o	.
.	.	o	o	.	o	o
.	.	.	.	o	o	.
.	.	.	.	.	.	.

Források

• Schwarzenbach D. Kristallographie, Springer Verlag, Berlin 2001, Sablon:ISBN
• https://web.archive.org/web/20160304093420/http://zeus.nyf.hu/~mattan/faliujsag/Fejezetek_geombol3.pdf
• Matematika és geometria az építészetben