Cassini-görbe

Néhány Cassini-görbe. A fókuszpontok (-1, 0) és (1, 0). A görbéken a b² értéke van feltüntetve.

Cassini-görbe azoknak a pontoknak a mértani helye a síkban, melyek a sík egy $q_1$ és $q_2$ pontjától mért távolságának szorzata állandó. A $q_1$ és $q_2$ pontokat a Cassini-görbe fókuszainak nevezik.

A Cassini-görbék Giovanni Domenico Cassini csillagászról kapták nevüket, aki úgy vélte, hogy a bolygók ilyen pályán keringenek a Nap körül.

Ha egy derékszögű koordináta-rendszert úgy veszünk fel, hogy a $q_1$ pont koordinátái $(a,0)$, és a $q_2$ pont koordinátái $(-a,0)$, akkor a görbék pontjai kielégítik az alábbi egyenletet:

$((x-a{)}^2+y^2)((x+a{)}^2+y^2)=b^4$.

Más alakban:

$(x^2+y^2{)}^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4=b^4$,

illetve

$(x^2+y^2+a^2{)}^2-4a^2{x}^2=b^4$.

A görbék polárkoordinátás egyenlete:

$r^4-2a^2{r}^2\cos 2\theta =b^4-a^4$

Alakja

A görbék alakja a $c=\frac{b}{a}$ viszonytól függ.

• $c>\sqrt{2}$ esetén ovális alakú zárt görbe
• $\sqrt{2}>c>1$ esetén egyetlen folytonos, zárt görbe, melynek négy inflexiós pontja van.
• $c=1$ esetén a görbe Bernoulli-féle lemniszkáta lesz.
• $c<1$ esetén a diagram két független görbére esik szét.
• $c=0,(a\ne 0)$ esetén a Cassini-görbe a két fókuszponttá fajul.

Tulajdonságai

Fekete kör: a maximumok és minimumok mértani helye; kék lemniszkáta: az inflexiós pontok mértani helye.

• A Cassini-görbék negyedrendű síkbeli algebrai görbék.
• Két szimmetriatengelye van: az egyik a két fókuszponton átmenő egyenes, a másik a két fókuszpont távolságát megfelező, az előzőre merőleges egyenes.
• $0<c\le \sqrt{2}$ esetén két abszolút maximummal és két abszolút minimummal rendelkeznek:

$\{\begin{array}{c}x=\pm \frac{\sqrt{4a^4-b^4}}{2a}\\ y=\pm \frac{b^2}{2a}\end{array}$

• $1<c\le \sqrt{2}$ esetén a görbék négy inflexiós ponttal rendelkeznek, polárkoordinátás alakjuk:

$\{\begin{array}{c}r=\sqrt[4]{\frac{b^4-a^4}{3}}\\ \cos 2\phi =-\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{b^4}{a^4}-1)}\end{array}$

Az inflexiós pontok mértani helye lemniszkáta, $(0;\pm a)$ csúcspontokkal.

• A görbületi sugár polárkoordinátákkal kifejezve:

$R=\frac{b^{2}r}{r^2+a^2\cos 2\phi }=\frac{2b^2{r}^3}{a^4-b^4+3r^4}$

Források

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. Sablon:ISBN

Külső hivatkozások

• Kempelen Farkas digitális tankönyvtár
• História - tudósnaptár: Cassini
• Sablon:MathWorld
• 2Dcurves.com 2D görbék (angol)