Analitikus függvénykiértékelés

Analitikus függvénykiértékelés

A matematika és fizika terén mindig függvények kötnek össze változókat, legáltalánosabb esetben a következő alakban f(x) = y. Ezzel egyenértékű az az állítás, hogy minden x értéknek megfelel egy jól meghatározott y érték. Numerikus analízis terén gyakran megjelenik a behelyettesítés értékének a meghatározásának a problémája. Többek között az integrálok numerikus analízisében, a kvadratúráknál.

Bizonyos esetekben a függvényértékek kiszámításánál megjelennek a Taylor-, illetve a Maclaurin-sorok. Ezek megfelelő esetben egyre pontosabb értéket térítenek vissza, minél inkább növeljük a lépések számát.

Általános esetben megkeressük a függvény Maclaurin-sorát, majd a sor alapján meghatározunk egy rekurrenciás képletet. A képletet megfelelő módon implementálva egy programba, azt addig engedjük futni, míg a kívánt eredmény az általunk meghatározott hibakorláton belül esik.

A rekurrenció a következő formában hasznos programozásban: $y=u_0+u_1+u_2+...=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$, ahol az $u_{n+1}=f(u_n,x)$

$(1+x{)}^a$ típusú függvény

Maclaurin sor:

$f(x)=1+ax+\frac{1}{2!}a(a-1)x^2+\frac{1}{3!}a(a-1)(a-2)x^3+...$

$T_0=u_0=1$

Rekurrenciás képlet: $u_{n+1}=u_n\frac{a-n}{n+1}x$

A tagok számát növelve, a pontossága is növekszik a behelyettesítési értéknek.

Python kód

import math
def maclaurin(a, x, e):
	u = 1
	n = 0
	T = 1
	while (math.sqrt(u*u)>e):
		u = x*u*(a-n)/(n+1)
		T = T + u
		n = n + 1
	return T

$e^x$, exponenciális függvény

Maclaurin sor:

$f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$

$T_0=u_0=1$

Rekurrenciás képlet: $u_{n+1}=u_n\frac{x}{n+1}$

Python kód

import math
def exp(x, e):
	u = 1
	n = 0
	T = 1
	while (math.sqrt(u*u)>e):
		u = x*u/(n+1)
		T = T + u
		n = n + 1
	return T

A természetes logaritmus függvény

Maclaurin-sor:

$f(x)=\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+(-1{)}^n\frac{x^n}{n}+H$, $H$ $<\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}$

$T_0=u_0=x$

Rekurrenciás képlet: $u_{n+1}=-u_n\frac{n}{n+1}{x}^{n+1}$

Python kód

import math
def ln(x, e):
	u = x
	n = 0
	T = x
	while (math.sqrt(u*u)>e):
		n = n + 1		
		u = -u*n*x/(n+1)
		T = T + u
	return T

Sin(x) függvény

$f(x)=sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n-1}}{(2n+1)!}$

$T_0=u_0=x$

Rekurrenciás képlet: $u_{n+1}=-u_n\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}$

Python kód

import math
def sin(x, e):
	u = x
	n = 0
	T = x
	while (math.sqrt(u*u)>e):
		n = n + 1		
		u = -u*x*x/((2n+1)*(2n))
		T = T + u
	return T

Lásd még

• Analitikus függvény

• Maclaurin-sor
• Taylor-sor

Források

• Numerikus módszerek (egyetemi jegyzet): Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc, Bábes-Bólyai Tudomány Egyetem, Fizika kar