Bernoulli törvénye

Sablon:Kezdőlapkép Bernoulli törvénye azt mondja ki, hogy egy közeg áramlásakor (a közeg lehet például víz, de levegő is) a sebesség növelése a nyomás csökkenésével jár. Például, ha valaki egy papírlapot tart vízszintesen tartott tenyere alá és ujjai közé fúj, a papírlap a tenyeréhez tapad. Ennek oka, hogy a levegő sebessége a papír és tenyere közötti résben felgyorsul, nyomása lecsökken, a lap alatti nyomás azt a tenyeréhez szorítja. A Bernoulli-törvény pontosabban azt mondja ki, hogy áramló közegben egy áramvonal mentén a különböző energia-összetevők összege állandó. A törvényt a holland-svájci matematikus és természettudós Daniel Bernoulliról nevezték el, noha ezt már korábban felismerte a szintén bázeli Leonhard Euler és mások.

Bernoulli egyenletei

A Bernoulli-egyenleteknek két különböző formája van, az egyik összenyomhatatlan közeg áramlására, a másik összenyomható közeg áramlására alkalmazható.

Összenyomhatatlan közeg

Fájl:Bernoullis law.ogv

Állandó földi nehézségi gyorsulás esetén (ezzel számolhatunk a Földön kis magasságkülönbségek mellett) az eredeti alak:

\frac{v^{2}}{2} + g h + \frac{p}{ρ} = k o n s t a n s

v = közeg sebessége az áramvonal mentén

g = földi nehézségi gyorsulás

h = magasság tetszőleges ponttól a gravitáció irányában

p = nyomás az áramvonal mentén

$ρ$ = a közeg sűrűsége

A fenti egyenlet érvényességének feltétele:

Viszkozitás (belső súrlódás) nélküli közeg
Stacionárius, vagy időben állandósult áramlás
Összenyomhatatlan közeg; $ρ$ = állandó az áramvonal mentén. Megengedett azonban, hogy a sűrűség az egyes áramvonalak között változzék.
Általában az egyenlet egy adott áramvonal mentén érvényes. Állandó sűrűségű potenciálos áramlás esetén azonban igaz az áramlás minden pontjára.

A nyomás csökkenését a sebesség növekedésével, ahogy az a fenti egyenletből következik, Bernoulli törvényének szokás hívni.

Az egyenletet ebben az alakjában először Leonhard Euler vezette le.

Összenyomható közeg

Fájl:07. Бернулиев закон - прилепување хартија со дување.ogv Az egyenlet általánosabb alakja összenyomható közegekre írható fel, amely esetben egy áramvonal mentén:

\frac{v^{2}}{2} + ϕ + w = k o n s t a n s

ahol

ϕ

= az egységnyi tömegre eső helyzeti energia,

ϕ = g h

állandó nehézségi gyorsulás esetén

w

= a közeg egységnyi tömegére eső entalpiája

Megjegyezzük, hogy

w = ϵ + \frac{p}{ρ}

ahol

ϵ

a közeg egységnyi tömegére eső termodinamikai energia, vagy fajlagos belső energiája.

A jobb oldalon szereplő konstanst gyakran Bernoulli-állandónak hívják és $b$ -vel jelölik.

Állandósult súrlódásmentes adiabatikus áramlás esetén (nincs energiaforrás vagy nyelő) $b$ állandó bármely adott áramvonal mentén.

Amikor egy lökéshullám jelentkezik, a lökéshullámon áthaladva a Bernoulli-egyenlet több paramétere hirtelen változást szenved, de maga a Bernoulli-szám változatlan marad.

Levezetése

Összenyomhatatlan közegre

Összenyomhatatlan közegre a Bernoulli-egyenletet az Euler-egyenletek integrálásával vagy az energiamegmaradás törvényéből lehet levezetni, amit egy áramvonal mentén két keresztmetszetre kell alkalmazni, elhanyagolva a viszkozitást és a hőhatásokat.

A legegyszerűbb levezetésnél először a gravitációt is figyelmen kívül hagyjuk és csak a szűkülő és bővülő szakaszok hatását vizsgáljuk egy egyenes csőben. Legyen az x tengely a cső tengelye is egyben.

Egy folyadékrész mozgásegyenlete a cső tengelye mentén:

m \frac{d v}{d t} = F

ρ A d x \frac{d v}{d t} = - A d p

ρ \frac{d v}{d t} = - \frac{d p}{d x}

Állandósult áramlás esetén $v = v (x)$ , így

\frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \frac{d x}{d t} = \frac{d v}{d x} v = \frac{d}{d x} \frac{v^{2}}{2}

Ha $ρ$ állandó, a mozgásegyenletet így lehet írni:

\frac{d}{d x} (ρ \frac{v^{2}}{2} + p) = 0

vagy

\frac{v^{2}}{2} + \frac{p}{ρ} = C

ahol a $C$ állandó, ezt néha Bernoulli-állandónak hívják. Látható, hogy ha a sebesség nő, a nyomás csökken. A fenti levezetés folyamán nem hivatkoztunk az energiamegmaradás elvére. Az energiamegmaradást a mozgásmennyiség egyenletének egyszerű átalakításából kaptuk. Az alábbi levezetés tartalmazza a gravitáció figyelembevételét és nem egyenesvonalú áramlás esetén is fennáll, de fel kell tételeznünk, hogy az áramlás súrlódásmentes, nincsenek energiaveszteséget okozó erőhatások.

Egy folyadékrész balról jobbra áramlik. Feltüntettük a nyomást, a magasságot, a sebességet, egy $Δ t;$ idő alatt megtett (s) utat és a keresztmetszet területét

A munkatételt, avagy a kinetikai energia elvét alkalmazva írható:

a közegre ható erők eredőjének munkája = kinetikai energia megváltozása

A nyomáskülönbségből származó erők munkája:

F_{1} s_{1} - F_{2} s_{2} = p_{1} A_{1} v_{1} Δ t - p_{2} A_{2} v_{2} Δ t .

A nehézségi erő munkája:

m g h_{1} - m g h_{2} = ρ g A_{1} v_{1} Δ t h_{1} - ρ g A_{2} v_{2} Δ t h_{2}

A kinetikai energia növekedése:

\frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = \frac{1}{2} ρ A_{2} v_{2} Δ t v_{2}^{2} - \frac{1}{2} ρ A_{1} v_{1} Δ t v_{1}^{2} .

A fentieket összevetve:

p_{1} A_{1} v_{1} Δ t - p_{2} A_{2} v_{2} Δ t + ρ g A_{1} v_{1} Δ t h_{1} - ρ g A_{2} v_{2} Δ t h_{2} = \frac{1}{2} ρ A_{2} v_{2} Δ t v_{2}^{2} - \frac{1}{2} ρ A_{1} v_{1} Δ t v_{1}^{2}

vagy

\frac{ρ A_{1} v_{1} Δ t v_{1}^{2}}{2} + ρ g A_{1} v_{1} Δ t h_{1} + p_{1} A_{1} v_{1} Δ t = \frac{ρ A_{2} v_{2} Δ t v_{2}^{2}}{2} + ρ g A_{2} v_{2} Δ t h_{2} + p_{2} A_{2} v_{2} Δ t .

Mindkét oldalt elosztva $Δ t$ -vel, $ρ$ -val és $A_{1} v_{1}$ -val (= térfogatáram = $A_{2} v_{2}$ , mivel a közeg összenyomhatatlan):

\frac{v_{1}^{2}}{2} + g h_{1} + \frac{p_{1}}{ρ} = \frac{v_{2}^{2}}{2} + g h_{2} + \frac{p_{2}}{ρ}

vagy, ahogy az első pontban állítottuk:

\frac{v^{2}}{2} + g h + \frac{p}{ρ} = C

Leosztva g-vel:

\frac{v^{2}}{2 g} + h + \frac{p}{ρ g} = C

Egy h magasságból szabadon eső test végsebessége (vákuum esetében):

v = \sqrt{2 g h}

vagy

h = \frac{v^{2}}{2 g}

.

A $\frac{v^{2}}{2 g}$ kifejezést sebesség magasságnak hívják.

A hidrosztatikai nyomás vagy statikus magasság definíciója:

p = ρ g h

, vagy

h = \frac{p}{ρ g}

.

A $\frac{p}{ρ g}$ kifejezést nyomásmagasságnak is hívják.

Összenyomható közegekre

Összenyomható közegre a levezetés hasonló. A levezetésben ismét felhasználjuk (1) a tömeg és (2) az energia megmaradását. A tömeg megmaradása azt jelenti, hogy a fenti ábrán az $A_{1}$ és az $A_{2}$ keresztmetszeten a $Δ t$ időintervallum alatt átáramló közeg tömege egyenlő:

0 = Δ M_{1} - Δ M_{2} = ρ_{1} A_{1} v_{1} Δ t - ρ_{2} A_{2} v_{2} Δ t

.

Az energia megmaradását hasonló módon alkalmazzuk: feltételezzük, hogy az áramcső térfogatában az $A_{1}$ és $A_{2}$ keresztmetszet között az energia változása kizárólag a két határkeresztmetszeten beáramló és eltávozó energiától függ. Egyszerűbben szólva feltételezzük, hogy belső energiaforrás (például rádióaktív sugárzás, vagy kémiai reakció) vagy energiaelnyelés nem áll fenn. Az összenergia változása tehát nulla lesz:

0 = Δ E_{1} - Δ E_{2}

ahol $Δ E_{1}$ és $Δ E_{2}$ az energia mennyisége, amely az $A_{1}$ keresztmetszeten beáramlik és a $A_{2}$ keresztmetszeten távozik.

A bejövő energia a közeg mozgási energiája, a közeg gravitációs helyzeti energiájának, a közeg termodinamikai energiájának és a $p d V$ mechanikai munka alakjában jelentkező energiájának az összege:

Δ E_{1} = [\frac{1}{2} ρ_{1} v_{1}^{2} + ϕ_{1} ρ_{1} + ϵ_{1} ρ_{1} + p_{1}] A_{1} v_{1} Δ t

Hasonló összefüggést lehet felírni a $Δ E_{2}$ -re is. Így behelyettesítve a $0 = Δ E_{1} - Δ E_{2}$ ezt kapjuk:

0 = [\frac{1}{2} ρ_{1} v_{1}^{2} + ϕ_{1} ρ_{1} + ϵ_{1} ρ_{1} + p_{1}] A_{1} v_{1} Δ t - [\frac{1}{2} ρ_{2} v_{2}^{2} + ϕ_{2} ρ_{2} + ϵ_{2} ρ_{2} + p_{2}] A_{2} v_{2} Δ t

amit így át lehet alakítani:

0 = [\frac{1}{2} v_{1}^{2} + ϕ_{1} + ϵ_{1} + \frac{p_{1}}{ρ_{1}}] ρ_{1} A_{1} v_{1} Δ t - [\frac{1}{2} v_{2}^{2} + ϕ_{2} + ϵ_{2} + \frac{p_{2}}{ρ_{2}}] ρ_{2} A_{2} v_{2} Δ t

Felhasználva a korábbi összefüggést a tömeg megmaradásra, így lehet egyszerűsíteni:

\frac{1}{2} v^{2} + ϕ + ϵ + \frac{p}{ρ} = k o n s t a n s \equiv b

Ez a Bernoulli-egyenlet összenyomható közegre.

Irodalom

Budó Ágoston (1967): Kísérleti Fizika I. Tankönyvkiadó, Budapest

További információk

Bernoulli-törvénye és a barackok – YouTube videó a törvényt szemléltető egyik kísérletről

Bernoulli törvénye

Tartalomjegyzék

Bernoulli egyenletei

Összenyomhatatlan közeg

Összenyomható közeg

Levezetése

Összenyomhatatlan közegre

Összenyomható közegekre

Irodalom

További információk

Navigációs menü

Bernoulli törvénye

Bernoulli egyenletei

Összenyomhatatlan közeg

Összenyomható közeg

Levezetése

Összenyomhatatlan közegre

Összenyomható közegekre

Irodalom

További információk

Navigációs menü

Keresés