Beatty-tétel

A Beatty-tétel az elemi számelmélet egyik állítása. A tételt Samuel Beatty tűzte ki az American Mathematical Monthly feladat rovatában, 1926-ban.

A tétel kimondása

Legyen t>0 irracionális szám. Ekkor t Beatty-sorozatának nevezzük a

${ℬ}_t=[t],[2t],[3t],\dots ={([nt])}_{n\ge 1}$

számsorozatot, ahol a szögletes zárójel az egészrészt jelöli.

A tétel szerint ha $\alpha$, $\beta$ pozitív irracionális számok, amikre teljesül

$\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=1,$

akkor ${ℬ}_{\alpha }$ és ${ℬ}_{\beta }$ együtt minden pozitív egész számot pontosan egyszer tartalmazza.

Bizonyítások

Első bizonyítás

Világos, hogy $\alpha$ és $\beta$ mindketten 1-nél nagyobb számok, ezért ${ℬ}_{\alpha }$-ban, illetve ${ℬ}_{\beta }$-ban nem fordulhat elő egynél többször egy egész szám. Tehát a tétel igazolásához elegendő megmutatnunk, hogy ${ℬ}_{\alpha }\cap {ℬ}_{\beta }=\mathrm{\varnothing }$ (1) és $(\mathbb{N}\setminus {ℬ}_{\alpha })\cap (\mathbb{N}\setminus {ℬ}_{\beta })=\mathrm{\varnothing }$ (2). Még megjegyezzük, hogy mivel $\alpha$ és $\beta$ irracionális, azért $n\alpha$ és $m\beta$ sosem egész szám.

(1) bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy van olyan n és m, hogy $n\alpha$ és $m\beta$ ugyanabba a (k;k+1) intervallumba esik, vagyis

$k<n\alpha <k+1$, $k<m\beta <k+1$,

átosztva

$\frac{k}{\alpha }<n<\frac{k+1}{\alpha }$, $\frac{k}{\beta }<m<\frac{k+1}{\beta }$.

A két egyenlőtlenséget összeadva, és kihasználva a feltételt:

$k<n+m<k+1$,

ami ellentmondás, hisz két szomszédos egész szám közé nem eshet más egész szám.

(2) bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy valamely [k;k+1) intervallumba nem esik $n\alpha$ és $m\beta$ alakú szám sem. Ilyenkor tehát valamely n-re és m-re fennáll, hogy

$n\alpha <k$, de $k+1<(n+1)\alpha$;

$m\beta <k$, de $k+1<(m+1)\beta$.

Ismét átosztva és összeadva adódik, hogy

$m+n<k(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta })$

és

$(k+1)(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta })<(n+1)+(m+1)$.

A kettőt összevetve $m+n<k<m+n+1$ adódik, ami ismét ellentmondás.

(1) és (2) belátásával pedig a tétel bizonyítást nyert.

Második bizonyítás

Jelölje valamely N>0 egész számra $f(N)$ azt, hogy 0 és N közé $\alpha$-nak és $\beta$-nak összesen hány többszöröse esik. Ha belátjuk, hogy minden N-re, hogy $f(N+1)=f(N)+1$ (*), akkor az $[N;N+1)$ intervallumban pontosan egy $n\alpha$ vagy $m\beta$ alakú szám lehet, így N-et ${ℬ}_{\alpha }$ és ${ℬ}_{\beta }$ pontosan egyszer tartalmazza.

Könnyen átgondolható, hogy $\left[\frac{N}{\alpha }\right]$ darab $\alpha$-többszörös kisebb N-nél, és $\left[\frac{N}{\beta }\right]$ darab $\beta$-többszörös, ahonnan

$f(N)=\left[\frac{N}{\alpha }\right]+\left[\frac{N}{\beta }\right]$.

Egyfelől, mivel $\alpha$ és $\beta$ irracionális, így garantáltan

$f(N)<\frac{N}{\alpha }+\frac{N}{\beta }=N$.

Másrészt, az $[x]>x-1$ becslést felhasználva

$f(N)>(\frac{N}{\alpha }-1)+(\frac{N}{\beta }-1)=N-2$

adódik, így $f(N)$ egész szám lévén csakis $f(N)=N-1$ lehet. Ebből pedig (*) leolvasható.

Megjegyzés: utóbbi bizonyításból világosan látható, hogy a tétel megfordítása is igaz.

Mindkét bizonyítás kis módosításával megkaphatjuk a tétel rokon változatát pozitív racionális számokra: ha (m,n)=1 pozitív egészek, akkor a következő $m+n-2$ racionális szám közül pontosan egy esik az $(1;2),(2;3),\dots ,(m+n-2;m+n-1)$ intervallumok mindegyikébe:

$\frac{m+n}{m},\frac{2(m+n)}{m},\dots ,\frac{(m-1)(m+n)}{m}$; $\frac{m+n}{n},\frac{2(m+n)}{n},\dots ,\frac{(n-1)(m+n)}{n}$.

Források

• Alexander Bogomolny, Beatty Sequences, Cut-the-knot
• Skljarszkij-Csencov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből I. (Aritmetika és algebra)