Hardy-egyenlőtlenség

A Hardy-egyenlőtlenség diszkrét formája azt mondja ki, hogy ha $a_{1}, a_{2}, \dots$ nemnegatív valósokból álló sorozat és $p > 1$ , akkor

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{S_{n}}{n})}^{p} \leq {(\frac{p}{p - 1})}^{p} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{p}

teljesül, ahol $S_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}$ . A szereplő ${(\frac{p}{p - 1})}^{p}$ konstans pontos.

Összefoglalva, nagyjából arról van szó, hogy egy sorozat hatványösszege (1-nél nagyobb valós kitevő esetén) mindig legalább akkora, mint a sorozat átlagainak hatványösszegének egy konstansszorosa (mely konstans csak a kitevőtől függ).

A Hardy-egyenlőtlenség folytonos, integrálos változata:

\int_{0}^{\infty} {(\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t)}^{p} d x \leq {(\frac{p}{p - 1})}^{p} \int_{0}^{\infty} f (x)^{p} d x .

minden olyan f(x) integrálható függvényre, ami sehol sem negatív, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f(x) = 0 majdnem mindenütt.

Az egyenlőtlenség először 1920-ban jelent meg Hardy jegyzetében, bizonyítás nélkül.^[1] Az eredeti megfogalmazás az integrálos egyenlőtlenség egy másik alakja volt. Az egyenlőtlenség bizonyítható a Hardy-Littlewood maximálfüggvénnyel és a maximálfüggvények elméletének felhasználásával.

Magasabb dimenzióban az egyenlőtlenség szintén teljesül, de ott a konstans szorzó p-n kívül a tartománytól is függ. Konvex tartományokra például vehető 1/4-nek, de vannak sima tartományok, amikre ez a szám kisebb. Sőt, vannak tartományok, amikre ez a szorzó nem pozitív. A tételnek van súlyozott, és nem korlátos tartományra általánosított változata is.

Az egyenlőtlenséget alkalmazzák a Markov-folyamatok, és az L^p-terek elméletében.

Jegyzetek

Sablon:Jegyzetek

Források

További információk

Sablon:Csonk-dátum Sablon:Portál

↑ Hardy, G.H., Note on a Theorem of Hilbert, Math. Z. 6 (1920), 314–317.

[1] Hardy, G.H., Note on a Theorem of Hilbert, Math. Z. 6 (1920), 314–317.

[1]

Hardy-egyenlőtlenség

Jegyzetek

Források

További információk

Navigációs menü

Keresés