Kommutativitás

A matematikában a kommutativitás vagy felcserélhetőség a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Olyan matematikai műveleteket neveznek így, melyeknél az összetevők sorrendjének felcserélése nem változtatja meg a művelet eredményét.

Definíció

Legyen $(A;\cdot )$ tetszőleges grupoid. Ha minden $a,b\in A$ elemre teljesül, hogy $a\cdot b=b\cdot a$, akkor azt mondjuk, hogy a $\cdot$ művelet kommutatív a $(A;\cdot )$ grupoidban.

Tulajdonságok

• Kommutatív $(A;\cdot )$ félcsoportokban teljesül az általános kommutativitás tétele, azaz tetszőleges $a_1,...,a_n\in A$ elemekre az $a_1\cdot ...\cdot a_n\in A$ szorzat eredménye független az $a_1,...,a_n$ tényezők sorrendjétől.

Példák

• A valós számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás műveletek kommutatívak.
• A valós számokon értelmezett kivonás művelet nem kommutatív: pl. $3-5\ne 5-3$.
• A nullától különböző valós számokon értelmezett osztás sem kommutatív: pl. $\frac{3}{8}\ne \frac{8}{3}$.
• Az egyesítés és metszetképzés bármely, halmazokból álló alaphalmazon értelmezve kommutatív.
• A leképezések szorzása (függvénykompozíció) nem kommutatív: pl. $\sin (\cos (\pi ))\ne \cos (\sin (\pi ))$.

Kommutatív struktúrák

• Abel-csoport

További információk

• Alice és Bob - 11. rész: Alice és Bob számelméletet épít
• Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz
• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik

Kapcsolódó szócikkek

• Asszociativitás
• Disztributivitás
• Antikommutativitás

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994