Függő és független változó

Egy változót akkor tekintünk függőnek, ha független változótól függ. A függő változókat azzal a feltételezéssel vizsgáljuk, hogy valamilyen törvény vagy szabály (pl. matematikai függvény ) szerint függjenek más változók értékétől. A független változókat viszont nem befolyásolják a függő változók. Néhány gyakran használt független változó például az idő, tér, sűrűség, tömeg, folyadék áramlási sebességeSablon:Jegyzet Sablon:Jegyzet vagy valamely megfigyelt érték korábbi értékei (pl. az emberi populáció mérete) a jövőbeli értékek előrejelzéséhez (a függő változóhoz).Sablon:Jegyzet

A kettő közül mindig az a függő változó, amelynek változását a bemenetek megváltoztatásával tanulmányozzuk, amelyet statisztikai kontextusban regresszornak is neveznek. A független változó egy kísérletben az a változó, amelyet manipulálunk, hogy megfigyeljük, milyen hatása van a vizsgált jelenségre vagy a függő változóra. Néha független változókat nem csak azért vizsgálnak, mert azok közvetlen hatására kíváncsiak, hanem mint zavaró tényező próbálják kiszűrni.

Az egyváltozós számításban egy függvényt általában úgy ábrázolnak, hogy a vízszintes tengely a független változót, a függőleges tengely pedig a függő változót reprezentálja.Sablon:JegyzetEbben a függvényben $y$ a függő változó, $x$ pedig a független változó.

Az elméleti matematikában

A matematikában a függvény egy bemenet (a legegyszerűbb esetben egy szám vagy számhalmaz)Sablon:Jegyzet felvételére és egy kimenet (amely úgyszintén lehet szám) megadására szolgáló szabály.Sablon:Azonos Az a szimbólum lesz a független változó, amely egy tetszőleges bemenetet jelöl, míg a függő változót az a szimbólum jelöli, amely egy tetszőleges kimenetet jelöl.Sablon:Jegyzet A bemenetre leggyakrabban használt szimbóluma az $x$, míg a kimenetet általában $y$ jelöli; így a függvény általános leírása ekképpen alakul: $y=f(x)$.Sablon:Azonos Sablon:Jegyzet

Lehetséges, hogy több független vagy függő változó is található. Például a többváltozós analízisben gyakran találkozhatunk $z=f(x,y)$ alakú függvényekkel, ahol $z$ függő változó, $x$ és $y$ pedig független változók. A több kimenettel rendelkező függvényeket gyakran vektorértékű függvényeknek nevezik.

A modellezésben és a statisztikában

A matematikai modellezés során a függő és a független változók halmaza közötti kapcsolatot vizsgáljuk. 

Az egyszerű sztochasztikus (valószínűség számításra épülő) lineáris modellben $y_i=a+b{x}_i+e_i$ az $i$ jelöli a kiválasztott valahányadik értéket, valamit a az y a függő változót, az x pedig a független változót. Az e érték a "hiba" néven ismert, és a függő változónak a független változóval nem magyarázható variabilitását tartalmazza.

Többszörös független változókkal a modell a következőképpen alakul: $y_i=a+b{x}_{i,1}+b{x}_{i,2}+\dots +b{x}_{i,n}+e_i$, ahol az n a független változók számát jelöli.

A statisztikában, pontosabban a lineáris regresszióban, az adatok szórásdiagramját állítják elő $X$ független változóval és $Y$ függő változóval. Ezt kétváltozós adatkészletnek is nevezik, $(x_1,y_1)(x_2,y_2)\dots (x_i,y_i)$. Az egyszerű lineáris regressziós modell $Y_i=a+B{x}_i+U_i$ alakját veszi fel, ahol $i=1,2,\dots ,n$. Ebben az esetben $U_i,\dots ,U_n$ független valószínűségi változók. Ez akkor fordul elő, ha a mérések nem befolyásolják egymást. A függetlenség terjesztésén keresztül az $U_i$ függetlensége $Y_i$ függetlenségét jelenti, még akkor is, ha minden $Y_i$ más elvárási értéke van. Minden $U_i$ várható értéke 0 és varianciája ${\sigma }^2$.Sablon:Jegyzet Elvárás $Y_i$ bizonyításra:Sablon:Azonos

$E[Y_i]=E[\alpha +\beta x_i+U_i]=\alpha +\beta x_i+E[U_i]=\alpha +\beta x_i.$

A kétváltozós adatkészlethez legjobban illeszkedő egyenes $y=\alpha +\beta x$ alakot ölt, és regressziós egyenesnek nevezzük. $\alpha$ és $\beta$ megfelel a metszéspontnak, illetve a meredekségnek.Sablon:Azonos

Egy kísérletben azt a változót, amit a kísérletvezető változtat, független változónak nevezzük, hiszen változását nem más tényezők megváltoztatása okozza.Sablon:Jegyzet A függő változó az az esemény, amely várhatóan megváltozik a független változó manipulálása következtében.Sablon:Jegyzet

Szinonimák

A független változó elnevezése kontextustól függően változhat. A "prediktor" kifejezést egy modellben vagy statisztikai elemzésben (lineáris regressziónál használják egy másik változó előrejelzésére vagy magyarázatára. A "regresszor" kifejezést a regressziós elemzésekben használják. A "manipulált változót" főként kísérleti (pszichológiai, szociológiai, orvosi) kontextusban használják. A "magyarázó változó" kifejezést főként akkor használják, amikor a kutatás nem pusztán előrejelzésre törekszik, hanem arra is, hogy megértse, hogyan és miért befolyásolják egyes tényezők a függő változót. Az "expozíciós változó" és a "rizikófaktor" (vagy kockázati tényezőt) fogalmát leginkább epidemiológiai, orvosi és egészségügyi kutatásokban használják, ahol azt vizsgálják, hogyan hat egy adott tényező a betegség, egészségi állapot vagy más kimenetel kialakulására.

Egyes szerzők a "magyarázó változót" részesítik előnyben a "független változókkal" szemben, amikor a független változóként kezelt mennyiségek statisztikailag nem függetlenek vagy függetlenül nem manipulálhatóak.Sablon:Jegyzet Sablon:Jegyzet Ha a független változót "magyarázó változónak" nevezik, akkor egyes szerzők a "válaszváltozó" kifejezést részesítik előnyben a függő változóra.Sablon:JegyzetSablon:AzonosSablon:Azonos

A kontextustól függően a függő változót "prediktált változónak", "regresszánsnak", "mért változónak", "magyarázott változónak", "kimeneti változónak" is szokták nevezni.

Ellentétpárok

független	függő
prediktor	prediktált
regresszor	regresszáns
manipulált	mért
magyarázó	magyarázott
expozíciós	kimeneti

Egyéb változók

A "szabályozott változó" vagy "kontrollváltozó" olyan változó, amelyet egy kísérlet során állandóan vagy kontroll alatt tartanak, hogy változásai ne befolyásolják a kísérlet eredményeit. A szabályozott változók nem tartoznak sem a függő, sem a független változók közé. Ezek általában olyan közbeeső változók, amelyek jelentős hatással lehetnek a függő változóra, azonban hatásuk nem képezi a kísérlet központi érdeklődését.

Például, ha egy kísérlet az edzés izomtömegre gyakorolt hatását vizsgálja, ahol az izomtömeg a függő változó, az edzés mennyisége pedig a független változó, akkor feltételezhető, hogy más tényezők is befolyásolhatják az eredményt. Ilyen például a diéta, amely elengedhetetlen az izomtömeg növeléséhez, hiszen ha a résztvevők nem fogyasztanak elegendő fehérjét, a szervezetük nem lesz képes izomépítésre, függetlenül a testmozgás mennyiségétől. Ezért a kísérletben minden résztvevő számára hasonló vagy egyenértékű étrendet biztosítanak.Sablon:Jegyzet Külső változók, ha független változóként szerepelnek a regressziós elemzésben, segíthetik a kutatót a válaszparaméterek pontos becslésében, előrejelzésében és az illeszkedés jóságában, azonban a vizsgált hipotézis szempontjából nem lényegesek. Például egy olyan tanulmányban, amelyen a középiskola utáni oktatásnak a hatását vizsgálják az élethosszig tartó keresetre, néhány külső változó lehet a nem, az etnikai hovatartozás, a társadalmi osztály, a genetika, az intelligencia, az életkor és így tovább. A külső változóknak azok a tényezők tekinthetőek, amelyek feltételezhetően (vagy kimutathatóan) befolyásolják a függő változót. Ha a regresszióban szerepel, javíthatja a modell illeszkedését. Ha nem szerepel a regresszióban, és nem nulla a kovarianciája egy vagy több vizsgált független változóval, akkor annak kihagyása torzítja a regresszió eredményét az adott független változó hatására vonatkozóan.

A külső változókat gyakran három kategóriába sorolják:

1. Az alanyi változók a vizsgált személyeknek azon jellemzői, amelyek befolyásolhatják a viselkedésüket. Ezek a változók magukban foglalják az életkort, a nemet, az egészségi állapotot, a hangulatot, az anyagi hátteret stb.
2. A blokkoló változók vagy kísérleti változók azoknak a kísérletet végző személyeknek a jellemzői, amelyek befolyásolhatják, hogyan viselkedik egy személy. Ilyen változók lehetnek például a nem, a faji megkülönböztetés jelenléte, a nyelv vagy egyéb tényezők.
3. A szituációs változók a vizsgálat vagy kutatás környezetének olyan jellemzői, amelyek negatív hatással vannak a kísérlet kimenetelére. Ilyenek például a levegő hőmérséklete, az aktivitás szintje, a megvilágítás és a napszak.

A modellezésben a független változó által nem lefedett változékonyságot $e_I$ jelöli, és „reziduális”, „mellékhatás”, „hiba”, „megmagyarázhatatlan rész”, „maradék változó”, „zavar” vagy „tűrés” néven ismert.

Példák

A műtrágya hatása a növények növekedésére

Egy olyan vizsgálatban, ahol különböző mennyiségű műtrágya hatását mérik a növénynövekedésre, a független változó a felhasznált műtrágya mennyisége lenne. A függő változó a növény magasságának vagy tömegének növekedése. A kontroll változók lennének a növény típusa, a műtrágya típusa, a növényt érő napfény mennyisége, a cserepek mérete stb.

A gyógyszeradagolás hatása a tünetek súlyosságára

Egy olyan vizsgálat során, amely azt vizsgálta, hogy egy gyógyszer különböző dózisai hogyan befolyásolják a tünetek súlyosságát, a kutató összehasonlíthatja a tünetek gyakoriságát és intenzitását, ha különböző dózisokat adnak be. Itt a független változó a dózis, a függő változó pedig a tünetek gyakorisága/intenzitása.

A kávéba adagolt cukor hatása

Az íz a kávéhoz hozzáadott cukor mennyiségétől függően változik. Itt a cukor a független változó, míg az íz a függő változó.