Megfordítás (logika)

A logikában és a matematikában egy implikációs állítás megfordítása a két részállítás cseréjével képezhető. Tehát P → Q megfordítása Q → P. A minden S P kategorikus propozíció megfordítása minden P S. Mindkét esetben a megfordítás igazsága általában az eredeti állításétól független.

Implikációs megfordítás

Az $A\leftarrow B$ Venn-diagramja (fehérrel jelölve a terület, ahol az állítás hamis)

Legyen S egy P → Q alakú állítás! Ekkor S megfordítása Q → P. Általában S állítása nem mond semmit a megfordításáéról, kivéve az antecedens P és a következmény Q logikai ekvivalenciájakor.

Például az az állítás, hogy „Ha ember vagyok, halandó vagyok”, igaz. Ennek megfordítása „Ha halandó vagyok, ember vagyok”, ami nem feltétlenül igaz.

Azonban egy mutuálisan inkluzív tagokat tartalmazó állítás megfordítása igaz. Tehát egy definíció megfordítása is igaz, vagyis az, hogy „a háromszög háromoldalú sokszög”, logikailag ekvivalens „a háromoldalú sokszög háromszög” állítással, mivel a háromszög definíciója a „háromoldalú sokszög”.

Igazságtáblázatokkal igazolható, hogy S nem ekvivalens a saját megfordításával, kivéve ha a két tag egymásból következik:

$P$	$Q$	$P\to Q$	$P\leftarrow Q$ (converse)
Sablon:Igen	Sablon:Igen	Sablon:Igen	Sablon:Igen
Sablon:Igen	Sablon:Nem	Sablon:Nem	Sablon:Igen
Sablon:Nem	Sablon:Igen	Sablon:Igen	Sablon:Nem
Sablon:Nem	Sablon:Nem	Sablon:Igen	Sablon:Igen

Egy állításból annak megfordítására térni következmény állításának hibája. Azonban ha S és megfordítása ekvivalens (vagyis P ↔ Q), a következmény állítása érvényes marad.

A megfordítás implikációja logikailag ekvivalens $P\vee \mathrm{\neg }Q$ állításával.

$P\leftarrow Q$	$\iff$	$P$	$\vee$	$\mathrm{\neg }Q$
	$\iff$		$\vee$

Ez azt jelenti, hogy „nem Q P nélkül”.

Egy tétel megfordítása

A matematikában egy $P\to Q$ alakú tétel megfordítása $Q\to P$. A megfordítás lehet igaz és hamis, és ha igaz, lehet nehezen bizonyítható. Például a négycsúcs-tételt 1912-ben igazolták, megfordítását csak 1997-ben.

A gyakorlatban egy tétel megfordításakor az ok adhatja a kontextust. Tehát a „P esetén ha Q, akkor R” állítás megfordítása „P esetén ha R, akkor Q”. Például a Pitagorasz-tétel:

$a,b,c$ oldalú háromszög esetén ha a $c$ oldallal szemközti szög derékszög, akkor $a^2+b^2=c^2$.

A megfordítás, mely Eukleidész Elemek című művének I. könyvében is szerepel, így szól:

$a,b,c$ oldalú háromszög esetén ha $a^2+b^2=c^2$, akkor a $c$ oldallal szemközti szög derékszög.

Reláció megfordítása

Egyszerű reláció megfordítása

Ha $R$ bináris reláció, ahol $R\subseteq A\times B,$ akkor a fordított reláció $R^T=\{(b,a):(a,b)\in R\}$ a transzpozíció.

Kategorikus megfordítás

A hagyományos logikában az alany és az állítmány megcserélése a megfordítás. Például az „Egyik S se P” állítás megfordítása „Egyik P se S”. Asa Mahan szavaival: Sablon:Idézet Az expozitumot gyakrabban nevezik megfordítandónak. A konverzió csak E és I állításokra érvényes:

Típus	Megfordítandó	Egyszerű megfordítás	per accidens megfordítás (P létekor érvényes)
A	Minden S P	nem érvényes	Van S, ami P
E	Nincs S, ami P	Nincs P, ami S	Van P, ami nem S
I	Van S, ami P	Van P, ami S	–
O	Van S, ami nem P	nem érvényes	–

Az egyszerű megfordítás érvényességét E és I típusú állítások esetén a „Nincs disztribuált tag a megfordításban, mely nincs disztribuálva a megfordítandóban” fejezi ki. E típusú állítások esetén az alany és az állítmány is disztribuált, míg I típusúak esetén egyik sincs.

A típusú állítások estén az alany disztribuált, az állítmány nem, így egy A típusú állításból a megfordítására való következtetés érvénytelen. Például az A típusú „Minden macska emlős” állítás megfordítása, a „Minden emlős macska” hamis, azonban a gyengébb „Van emlős, ami macska” igaz. A logikában a per accidens megfordítás e gyengébb állítás létrehozása. Egy állításból a per accidens megfordítására való következtetés általában igaz. Azonban a szillogizmusokhoz hasonlóan ez az üres halmazok esetén problémás lehet: a „Minden unikornis emlős” állítást gyakran igaznak veszik, de a per accidens megfordítás („Van emlős, mely unikornis”) egyértelműen hamis.

Az elsőrendű ítéletkalkulusban a „Minden S P” így is jelölhető: $\mathrm{\forall }x.S(x)\to P(x)$. Ezért egyértelmű, hogy a kategorikus megfordítás az implikációssal áll közeli kapcsolatban, és az S és P nem cserélhető fel a „minden S P” állításban.

Források

• Arisztotelész. Organon.
• Copi, Irving. Introduction to Logic. MacMillan, 1953.
• Copi, Irving. Symbolic Logic. MacMillan, 1979, 5. kiadás.
• Stebbing, Susan. A Modern Introduction to Logic. Cromwell Company, 1931.

Kapcsolódó szócikkek

• Szillogizmus