Birkhoff-axiómarendszer

A Birkhoff-axiómarendszert George David Birkhoff alkotta meg 1932-ben. Valójában négy posztulátum, amelyek révén az euklideszi geometria síkját lehet leírni algebrai eszközökkel. Ezeket beosztással rendelkező vonalzóval, valamint szögmérővel kísérletileg lehet ellenőrizni. Mivel a posztulátumok a valós számokon alapulnak, a megközelítés a geometria modellalapú bevezetéséhez hasonló.

Az axiómarendszert Birkhoff és Beatley középiskolai matematikakönyvében közölték először. Erre alapozva az Iskolai Matematikai Tanulmányi Csoport egy szabványt dolgozott ki a geometria főiskolai oktatására. Némely további tankönyv a geometria alapjait szintén ezen axiómarendszer egy változata alapján tanítja.

Posztulátumok

Birkhoff az alábbi négy feltételt kötötte ki:

Az egyenes mértéke

Bármely $P:=\{A,B,C,\dots \}$ kollineáris ponthalmaz 1:1 arányban feleltethető meg egy $R:=\{a,b,c,\dots \}$ valós számhalmaznak, ahol $d(A,B)=|b-a|$ minden pontpárra.

Pont-vonal kapcsolat

Bármely $(P,Q)$ pontpárhoz pontosan egy $l$ egyenes rendelhető, amely tartalmazza mindkét pontot.

A szögek mértéke

Egy adott $O$ ponton átmenő $l,mn,\dots$ egyenessor 1:1 arányban megfeleltethető az $R:=\{amod(2\pi )|a\in ℝ\}$ valós számhalmaznak. Ha $A\in l$ és $B\in m$ ($A\ne O,B\ne O$), akkor az egyeneseknek megfeleltetett $a$ számokra $(a_m-a_l)mod(2\pi )=AOB\mathrm{\angle }$.

Hasonlóság

Ha adottak az $ABC$ és $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ háromszögek és $k>0$ konstans úgy, hogy $d(A,B)=k\cdot d(A^{\prime },B^{\prime }),d(A,C)=k\cdot d(A^{\prime },C^{\prime })$, valamint $BAC\mathrm{\angle }=\pm B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }\mathrm{\angle }$, akkor $d(B,C)=k\cdot d(B^{\prime },C^{\prime })$ és a megfelelő szögek is egyenlőek.