Funktorkategória

A funktorkategória kategóriaelméleti fogalom. Ha C és D kategóriák, akkor a $D^C$ funktorkategória objektumai a $C\to D$ funktorok, morfizmusai az ezek közti természetes transzformációk.

A funktorkategóriák a következő két okból játszanak fontos szerepet:

• Számos a gyakorlatban előforduló kategória funktorkategória, így a funktorkategóriákra vonatkozó állítások az alkalmazásokban széles körben felhasználhatók.
• Bármely kategória beágyazható egy funktorkategóriába a Yoneda-beágyazáson át.

Példák

• Egy G csoport megfeleltethető egy olyan kategóriának, aminek egyetlen okbejtuma van, morfizmusai pedig G elemei; speciálisan minden morfizmus invertálható. Egy G általi csoporthatással ellátott halmazt G-halmaznak nevezünk. A G-halmazok kategóriát alkotnak, és ez a kategória pontosan a ${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t}}^G$ funktorkategória, ahol $\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t}$ jelöli a halmazok kategóriáját.
• Hasonlóan, ha k egy test, akkor a G csoport k-lineáris reprezentációinak kategóriája megegyezik a $k{\text{-Vct}}^G$ funktorkategóriával, ahol $k\text{-Vct}$ a k-vektorterek kategóriája.
• Egy irányított gráf áll csúcsok illetve nyilak egy-egy halmazából, valamint két függvényből a nyilak halmazából a csúcsok halmazába, amik egy nyílhoz a kiinduló- illetve végpontját rendelik. Legyen C a $\bullet \rightrightarrows \bullet$ kategória, azaz az a kategória, aminek két objektuma van, és köztük két párhuzamos nyíl megy. Ekkor az irányított gráfok kategóriája megegyezik a ${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t}}^C$ funktorkategóriával.

Fordítás

• Sablon:Fordítás

Források

• Sablon:Cite book